सबसे पहले, हम दिए गए फलन f(x) = x+1 का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करते हैं। x का समाकलन (x²)/(2) है और 1 का समाकलन x है।

सबसे पहले, हम दिए गए फलन f(x) = x+1 का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करते हैं। x का समाकलन (x²)/(2) है और 1 का समाकलन x है।

अब हम प्रत्येक कोष्ठक के अंदर के मानों को सरल करते हैं। (1)/(2) + 1 बन जाता है (3)/(2) और (1)/(2) - 1 बन जाता है -(1)/(2) । अंत में, हम इन दो मानों को घटाते हैं।

अब हम प्रत्येक कोष्ठक के अंदर के मानों को सरल करते हैं। (1)/(2) + 1 बन जाता है (3)/(2) और (1)/(2) - 1 बन जाता है -(1)/(2) । अंत में, हम इन दो मानों को घटाते हैं।

निश्चित समाकलन $\int_{-1}^{1} (x+1) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: निश्चित समाकलन का सूत्र लागू करें

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, हम समाकलन के मूल प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह प्रमेय बताता है कि यदि F(x) फलन f(x) का प्रतिअवकलज है, तो $a$ से $b$ तक f(x) का निश्चित समाकलन F(b) - F(a) के बराबर होता है।

Step 2: फलन का समाकलन करें

सबसे पहले, हम दिए गए फलन $f(x) = x+1$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करते हैं। $x$ का समाकलन $\frac{x^2}{2}$ है और $1$ का समाकलन $x$ है।

Step 3: सीमाओं को लागू करें

अब, हम समाकलन की ऊपरी सीमा $x=1$ और निचली सीमा $x=-1$ को प्रतिअवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं। निश्चित समाकलन में, हम समाकलन स्थिरांक $C$ को छोड़ देते हैं क्योंकि यह F(b) - F(a) में रद्द हो जाता है।

Step 4: मानों का मूल्यांकन करें

हम $x=1$ और $x=-1$ को प्रतिअवकलज $\frac{x^2}{2} + x$ में प्रतिस्थापित करते हैं। पहले ऊपरी सीमा के लिए मान की गणना करें, फिर निचली सीमा के लिए मान की गणना करें।

Step 5: सरल करें

अब हम प्रत्येक कोष्ठक के अंदर के मानों को सरल करते हैं। $\left(\frac{1}{2} + 1\right)$ बन जाता है $\frac{3}{2}$ और $\left(\frac{1}{2} - 1\right)$ बन जाता है $-\frac{1}{2}$ । अंत में, हम इन दो मानों को घटाते हैं।