हम निश्चित समाकल के एक महत्वपूर्ण गुणधर्म का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि ∫_(0)^(a) f(x) d x = ∫_(0)^(a) f(a-x) d x । यहाँ, a = (π)/(4) है।

हम निश्चित समाकल के एक महत्वपूर्ण गुणधर्म का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि ∫_(0)^(a) f(x) d x = ∫_(0)^(a) f(a-x) d x । यहाँ, a = (π)/(4) है।

अब, हम tan((π)/(4)-x) के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं, जो (1-tan x)/(1+tan x) है। इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें समीकरण (2) प्राप्त होता है।

अब, हम tan((π)/(4)-x) के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं, जो (1-tan x)/(1+tan x) है। इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें समीकरण (2) प्राप्त होता है।

निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए समाकल को $I$ के बराबर मानिए

सबसे पहले, दिए गए निश्चित समाकल को $I$ के बराबर मान लेते हैं। यह हमें गणना के दौरान समाकल को संदर्भित करने में मदद करेगा।

Step 2: निश्चित समाकल के गुणधर्म का प्रयोग करें

हम निश्चित समाकल के एक महत्वपूर्ण गुणधर्म का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ । यहाँ, $a = \frac{\pi}{4}$ है।

Step 3: गुणधर्म लागू करें और सरल करें

अब, हम $\tan(\frac{\pi}{4}-x)$ के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं, जो $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ है। इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें समीकरण (2) प्राप्त होता है।

Step 4: समीकरणों को जोड़ें और हल करें

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम लघुगणक के गुणधर्म $\log A + \log B = \log (AB)$ का उपयोग करते हैं। इससे समाकल सरल होकर $\log 2$ का समाकल बन जाता है, जिसे हल करना आसान है। अंत में, $I$ के लिए हल करने पर हमें अंतिम उत्तर प्राप्त होता है।