मान लीजिए कि इमारत AB = H है तथा टावर CD = h है, जहाँ B और D जमीन पर हैं। इमारत के शीर्ष A से टावर के तल D का अवनमन कोण β है, इसलिए ABD में tan β = (AB)/(BD) = (H)/(D) होगा। टावर के शीर्ष C से क्षैतिज रेखा खींचने पर समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ लंब H - h और आधार D है, अतः tan α = (H - h)/(D) मिलता है।

मान लीजिए कि इमारत AB = H है तथा टावर CD = h है, जहाँ B और D जमीन पर हैं। इमारत के शीर्ष A से टावर के तल D का अवनमन कोण β है, इसलिए ABD में tan β = (AB)/(BD) = (H)/(D) होगा। टावर के शीर्ष C से क्षैतिज रेखा खींचने पर समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ लंब H - h और आधार D है, अतः tan α = (H - h)/(D) मिलता है।

D के इस मान को H = D tan β में प्रतिस्थापित करने पर, इमारत की कुल ऊँचाई H = (h tan β)/(tan β - tan α) प्राप्त होती है।

D के इस मान को H = D tan β में प्रतिस्थापित करने पर, इमारत की कुल ऊँचाई H = (h tan β)/(tan β - tan α) प्राप्त होती है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² β = sec² β का प्रयोग करते हुए, H² + D² = D² tan² β + D² = D²(1 + tan² β) = D² sec² β होता है। D का मान रखने पर यह (h² sec² β)/((tan β - tan α)²) बन जाता है। इसे ज्या और कोज्या में बदलने पर tan β - tan α = (sin(β - α))/(cos β cos α) होता है, जिससे व्यंजक h²cos² β · (sin²(β - α))/(cos² β cos² α) = (h² cos² α)/(sin²(β - α)) प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan² β = sec² β का प्रयोग करते हुए, H² + D² = D² tan² β + D² = D²(1 + tan² β) = D² sec² β होता है। D का मान रखने पर यह (h² sec² β)/((tan β - tan α)²) बन जाता है। इसे ज्या और कोज्या में बदलने पर tan β - tan α = (sin(β - α))/(cos β cos α) होता है, जिससे व्यंजक h²cos² β · (sin²(β - α))/(cos² β cos² α) = (h² cos² α)/(sin²(β - α)) प्राप्त होता है।

निम्नलिखित दो (02) प्रश्नों के लिए : एक इमारत के शीर्ष से $h$ ऊँचाई वाले एक टावर के शीर्ष और तल के अवनमन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। मान लीजिए कि इमारत की ऊँचाई $H$ है तथा इमारत और टावर के बीच की सपाट दूरी $D$ है। 1. $H^2 + D^2$ किसके बराबर है?

Answer: $\frac{h^2 \cos^2 \alpha}{\sin^2(\beta - \alpha)}$ (अथवा $\frac{h^2 \sec^2 \beta}{(\tan \beta - \tan \alpha)^2}$ )

Step-by-step solution

Step 1: समकोण त्रिभुजों से संबंध स्थापित करना

मान लीजिए कि इमारत $AB = H$ है तथा टावर $CD = h$ है, जहाँ $B$ और $D$ जमीन पर हैं। इमारत के शीर्ष $A$ से टावर के तल $D$ का अवनमन कोण $\beta$ है, इसलिए $\triangle ABD$ में $\tan \beta = \frac{AB}{BD} = \frac{H}{D}$ होगा। टावर के शीर्ष $C$ से क्षैतिज रेखा खींचने पर समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ लंब $H - h$ और आधार $D$ है, अतः $\tan \alpha = \frac{H - h}{D}$ मिलता है।

Step 2: दूरी $D$ का मान $\alpha$ और $\beta$ के पदों में ज्ञात करना

पहले संबंध से $H = D \tan \beta$ और दूसरे संबंध से $H - h = D \tan \alpha$ मिलता है। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर $h = D(\tan \beta - \tan \alpha)$ प्राप्त होता है, जिससे $D = \frac{h}{\tan \beta - \tan \alpha}$ निकलता है।

Step 3: ऊँचाई $H$ का मान ज्ञात करना

$D$ के इस मान को $H = D \tan \beta$ में प्रतिस्थापित करने पर, इमारत की कुल ऊँचाई $H = \frac{h \tan \beta}{\tan \beta - \tan \alpha}$ प्राप्त होती है।

Step 4: $H^2 + D^2$ का मान ज्ञात करना

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ का प्रयोग करते हुए, $H^2 + D^2 = D^2 \tan^2 \beta + D^2 = D^2(1 + \tan^2 \beta) = D^2 \sec^2 \beta$ होता है। $D$ का मान रखने पर यह $\frac{h^2 \sec^2 \beta}{(\tan \beta - \tan \alpha)^2}$ बन जाता है। इसे ज्या और कोज्या में बदलने पर $\tan \beta - \tan \alpha = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \beta \cos \alpha}$ होता है, जिससे व्यंजक $\frac{h^2}{\cos^2 \beta \cdot \frac{\sin^2(\beta - \alpha)}{\cos^2 \beta \cos^2 \alpha}} = \frac{h^2 \cos^2 \alpha}{\sin^2(\beta - \alpha)}$ प्राप्त होता है।

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Step-by-step solution

Step 1: समकोण त्रिभुजों से संबंध स्थापित करना

Step 2: दूरी DDD का मान α\alphaα और β\betaβ के पदों में ज्ञात करना

Step 3: ऊँचाई HHH का मान ज्ञात करना

Step 4: H2+D2H^2 + D^2H2+D2 का मान ज्ञात करना

Step 2: दूरी $D$ का मान $\alpha$ और $\beta$ के पदों में ज्ञात करना

Step 3: ऊँचाई $H$ का मान ज्ञात करना

Step 4: $H^2 + D^2$ का मान ज्ञात करना