दिए गए फलन के हर को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम 9x²+6x+5 को (a+b)² = a²+2ab+b² के रूप में लिखते हैं। यहाँ a = 3x और 2ab = 6x है, इसलिए b=1 होगा। हम 1² जोड़ते और घटाते हैं।

दिए गए फलन के हर को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम 9x²+6x+5 को (a+b)² = a²+2ab+b² के रूप में लिखते हैं। यहाँ a = 3x और 2ab = 6x है, इसलिए b=1 होगा। हम 1² जोड़ते और घटाते हैं।

अब जब हमने हर को (3x+1)² + 4 के रूप में सरल कर लिया है, तो हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं। हम 4 को 2² के रूप में भी लिख सकते हैं ताकि यह मानक समाकलन सूत्र के रूप में दिखे।

अब जब हमने हर को (3x+1)² + 4 के रूप में सरल कर लिया है, तो हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं। हम 4 को 2² के रूप में भी लिख सकते हैं ताकि यह मानक समाकलन सूत्र के रूप में दिखे।

अब हम 3x+1 को t और dx को (dt)/(3) से प्रतिस्थापित करते हैं। स्थिरांक (1)/(3) को समाकलन चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है।

अब हम 3x+1 को t और dx को (dt)/(3) से प्रतिस्थापित करते हैं। स्थिरांक (1)/(3) को समाकलन चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है।

हम मानक समाकलन सूत्र ∫ (1)/(x²+a²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) + C का उपयोग करते हैं। यहाँ x के स्थान पर t और a के स्थान पर 2 है।

हम मानक समाकलन सूत्र ∫ (1)/(x²+a²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) + C का उपयोग करते हैं। यहाँ x के स्थान पर t और a के स्थान पर 2 है।

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए। 11. $\frac{1}{9x^2+6x+5}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: हर को पूर्ण वर्ग में बदलना

दिए गए फलन के हर को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम $9x^2+6x+5$ को $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ के रूप में लिखते हैं। यहाँ $a = 3x$ और $2ab = 6x$ है, इसलिए $b=1$ होगा। हम $1^2$ जोड़ते और घटाते हैं।

Step 2: हर को सरल करना

पिछले चरण में, हमने हर को $(3x)^2 + 2(3x)(1) + 1^2 - 1^2 + 5$ के रूप में लिखा था। अब हम इसे सरल करते हैं। पहले तीन पद $(3x+1)^2$ बनाते हैं, और शेष पद $5-1=4$ देते हैं।

Step 3: समाकलन को प्रतिस्थापन के साथ लिखना

अब जब हमने हर को $(3x+1)^2 + 4$ के रूप में सरल कर लिया है, तो हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं। हम $4$ को $2^2$ के रूप में भी लिख सकते हैं ताकि यह मानक समाकलन सूत्र के रूप में दिखे।

Step 4: प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग

समाकलन को हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। हम $3x+1$ को $t$ मानते हैं। फिर हम $dt$ और $dx$ के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए $t$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं।

Step 5: प्रतिस्थापन के बाद समाकलन

अब हम $3x+1$ को $t$ और $dx$ को $\frac{dt}{3}$ से प्रतिस्थापित करते हैं। स्थिरांक $\frac{1}{3}$ को समाकलन चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है।

Step 6: मानक सूत्र का प्रयोग

हम मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करते हैं। यहाँ $x$ के स्थान पर $t$ और $a$ के स्थान पर $2$ है।

Step 7: परिणाम को सरल करना और प्रतिस्थापन वापस करना

हम $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ को $\frac{1}{6}$ के रूप में सरल करते हैं और $t$ को वापस $3x+1$ से प्रतिस्थापित करते हैं। $C$ समाकलन का स्थिरांक है।