चूँकि त्रिभुज ABC BAD हैं, इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं। इस प्रकार, DAB = CBA प्राप्त होता है। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

चूँकि त्रिभुज ABC BAD हैं, इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं। इस प्रकार, DAB = CBA प्राप्त होता है। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

समीकरण (1) से CBA के स्थान पर DAB प्रतिस्थापित करने पर: DAB + DAB = 180^°, यानी 2 DAB = 180^° जिससे DAB = 90^° प्राप्त होता है। ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसका एक कोण 90^° (समकोण) हो, वह एक आयत होता है। अतः ABCD एक आयत है।

समीकरण (1) से CBA के स्थान पर DAB प्रतिस्थापित करने पर: DAB + DAB = 180^°, यानी 2 DAB = 180^° जिससे DAB = 90^° प्राप्त होता है। ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसका एक कोण 90^° (समकोण) हो, वह एक आयत होता है। अतः ABCD एक आयत है।

प्रश्नावली 8.1 1. यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है। हल— दिया है— प्रश्नानुसार $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $AC =$ विकर्ण $BD$ चित्र विवरण: एक चतुर्भुज $ABCD$ दिखाया गया है जिसमें शीर्ष $A$ ऊपर बाईं ओर, $D$ ऊपर दाईं ओर, $B$ नीचे बाईं ओर, और $C$ नीचे दाईं ओर स्थित हैं। विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध करना है— $ABCD$ एक आयत है। उपपत्ति— विकर्णों के आधार पर $\triangle ABC$ और $\triangle ABD$ में $AB = AB \quad \text{(उभयनिष्ठ भुजाएँ)}$ $AC = BD \quad \text{(दिया है)}$ तथा $BC = AD \quad \text{(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)}$ $\therefore \quad \triangle ABC \cong \triangle ABD \quad \text{(सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार)}$ $\Rightarrow \quad \angle DAB = \angle CBA \quad \dots\text{(i)}$ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं) परन्तु $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ \quad \dots\text{(ii)}$ $[\because AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योगफल $180^\circ$ होता है।] समीकरण (i) व (ii) से $\angle DAB = \angle CBA = \text{एक समकोण}$ अतः $ABCD$ एक आयत है क्योंकि यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण $90^\circ$ हो, तो वह आयत होता है।

उत्तर: चूँकि समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle DAB = \angle CBA = 90^\circ$ है, अतः $ABCD$ एक आयत है। (इति सिद्धम्)

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: दिया है और सिद्ध करना है

हमें दिया गया है कि चतुर्भुज $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। इस समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण $AC$ और $BD$ लम्बाई में परस्पर बराबर हैं। हमें सिद्ध करना है कि $ABCD$ एक आयत है।

चरण 2: त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करना

त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle BAD$ की तुलना करते हैं। दोनों त्रिभुजों में भुजा $AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा) है। विकर्ण $AC = BD$ (दिया है) तथा $BC = AD$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)। अतः SSS सर्वांगसमता नियम से दोनों त्रिभुज परस्पर सर्वांगसम हैं।

चरण 3: संगत कोणों की समानता (CPCT)

चूँकि त्रिभुज $\triangle ABC \cong \triangle BAD$ हैं, इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं। इस प्रकार, $\angle DAB = \angle CBA$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

चरण 4: आसन्न कोणों का योगफल प्रयोग करना

समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में सम्मुख भुजाएँ $AD \parallel BC$ हैं और $AB$ एक तिर्यक रेखा है। तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अन्तःकोणों (क्रमागत अन्तःकोणों) का योगफल हमेशा $180^\circ$ होता है। अतः $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$ होगा।

चरण 5: प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कर निष्कर्ष निकालना

समीकरण (1) से $\angle CBA$ के स्थान पर $\angle DAB$ प्रतिस्थापित करने पर: $\angle DAB + \angle DAB = 180^\circ$ , यानी $2\angle DAB = 180^\circ$ जिससे $\angle DAB = 90^\circ$ प्राप्त होता है। ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसका एक कोण $90^\circ$ (समकोण) हो, वह एक आयत होता है। अतः $ABCD$ एक आयत है।

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