फलन f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1 का उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन का अवकलन ज्ञात करना
उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए फलन f(x) का अवकलन f'(x) ज्ञात करते हैं। अवकलन के नियम का उपयोग करके, हमें f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 प्राप्त होता है।
Step 2: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करना
क्रांतिक बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ फलन का अवकलन शून्य होता है। हम f'(x) = 0 सेट करते हैं और x के लिए हल करते हैं। समीकरण 6x^2 - 30x + 36 = 0 को सरल करने पर x^2 - 5x + 6 = 0 प्राप्त होता है, जिसे गुणनखंड करने पर (x-2)(x-3) = 0 मिलता है। इससे हमें x = 2 और x = 3 क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
Step 3: द्वितीय अवकलन ज्ञात करना
यह निर्धारित करने के लिए कि क्रांतिक बिंदुओं पर उच्चतम या न्यूनतम मान है, हम फलन का द्वितीय अवकलन f''(x) ज्ञात करते हैं। f'(x) का अवकलन करने पर हमें f''(x) = 12x - 30 प्राप्त होता है।
Step 4: उच्चतम मान ज्ञात करना
हम x=2 पर द्वितीय अवकलन का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि f''(2) = -6 < 0$, इसका मतलब है कि x=2 पर फलन का उच्चतम मान है। इस मान को ज्ञात करने के लिए, हम x=2 को मूल फलन f(x) में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे f(2) = 29 प्राप्त होता है।
Step 5: न्यूनतम मान ज्ञात करना
अब हम x=3 पर द्वितीय अवकलन का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि f''(3) = 6 > 0$, इसका मतलब है कि x=3 पर फलन का न्यूनतम मान है। इस मान को ज्ञात करने के लिए, हम x=3 को मूल फलन f(x) में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे f(3) = 28 प्राप्त होता है।