हमें दिया गया है कि वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (2x)/(y²) है। स्पर्श रेखा की प्रवणता को (dy)/(dx) द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए हम इस संबंध को एक अवकल समीकरण के रूप में लिख सकते हैं।

हमें दिया गया है कि वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (2x)/(y²) है। स्पर्श रेखा की प्रवणता को (dy)/(dx) द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए हम इस संबंध को एक अवकल समीकरण के रूप में लिख सकते हैं।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को पृथक करते हैं। y² को dy के साथ और 2x को dx के साथ एक ही तरफ ले जाते हैं।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को पृथक करते हैं। y² को dy के साथ और 2x को dx के साथ एक ही तरफ ले जाते हैं।

बिंदु $(-2{,}3)$ , से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवकल समीकरण स्थापित करें

हमें दिया गया है कि वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2x}{y^2}$ है। स्पर्श रेखा की प्रवणता को $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए हम इस संबंध को एक अवकल समीकरण के रूप में लिख सकते हैं।

Step 2: चरों को पृथक करें

अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को पृथक करते हैं। $y^2$ को $dy$ के साथ और $2x$ को $dx$ के साथ एक ही तरफ ले जाते हैं।

Step 3: दोनों पक्षों का समाकलन करें

चरों को पृथक करने के बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं। यह हमें $y$ और $x$ के बीच संबंध खोजने में मदद करेगा।

Step 4: समाकलन करें

समाकलन करने पर, हमें $\frac{y^3}{3}$ और $x^2$ प्राप्त होता है। $C$ समाकलन स्थिरांक है जिसे हमें दिए गए बिंदु का उपयोग करके ज्ञात करना होगा।

Step 5: स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करें

वक्र बिंदु $(-2{,}3)$ से गुजरता है। हम इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करके समाकलन स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 6: वक्र का समीकरण लिखें

समाकलन स्थिरांक $C=5$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वक्र का अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है।