बिंदु $A$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ $AB$ एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र $(2, -3)$ है तथा $B$ के निर्देशांक $(1, 4)$ हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: समस्या को समझना और दिए गए मानों को पहचानना

हमें बिंदु $A$ के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। हमें वृत्त का केंद्र $C(2, -3)$ और व्यास $AB$ का एक सिरा $B(1, 4)$ दिया गया है। हम मान लेते हैं कि बिंदु $A$ के निर्देशांक (x, y) हैं।

Step 2: मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करना

चूंकि $AB$ वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त का केंद्र है, तो $C$ व्यास $AB$ का मध्यबिंदु होगा। हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके $A$ के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: x-निर्देशांक के लिए समीकरण स्थापित करना

मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके, हम $x$ -निर्देशांक के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं। केंद्र $C$ का $x$ -निर्देशांक $2$ है, और बिंदु $A$ और $B$ के $x$ -निर्देशांक $x$ और $1$ हैं।

Step 4: x-निर्देशांक को हल करना

समीकरण को हल करने पर, हमें $x$ का मान $3$ प्राप्त होता है।

Step 5: y-निर्देशांक के लिए समीकरण स्थापित करना

इसी प्रकार, हम $y$ -निर्देशांक के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं। केंद्र $C$ का $y$ -निर्देशांक $-3$ है, और बिंदु $A$ और $B$ के $y$ -निर्देशांक $y$ और $4$ हैं।

Step 6: y-निर्देशांक को हल करना

समीकरण को हल करने पर, हमें $y$ का मान $-10$ प्राप्त होता है।

Step 7: बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात करना

इस प्रकार, बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3, -10)$ हैं।