वृत्त का मानक समीकरण (x-h)² + (y-k)² = r² होता है, जहाँ (h,k) वृत्त का केंद्र है और r वृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त का मानक समीकरण (x-h)² + (y-k)² = r² होता है, जहाँ (h,k) वृत्त का केंद्र है और r वृत्त की त्रिज्या है।

बिंदुओं $(2{,}3)$ और $(–1{,}1)$ से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x – 3y – 11 = 0$ पर स्थित है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: वृत्त के समीकरण का सूत्र

वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है, जहाँ (h,k) वृत्त का केंद्र है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।

Step 2: दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके समीकरण बनाना

चूंकि वृत्त बिंदु $(2{,}3)$ और $(-1{,}1)$ से होकर गुजरता है, इसलिए ये बिंदु वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेंगे। हम इन बिंदुओं को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 3: केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करना

दोनों समीकरणों को $r^2$ के बराबर करने पर, हम $h$ और $k$ के बीच एक संबंध प्राप्त करते हैं। समीकरणों को सरल बनाने पर हमें $6h + 4k = 11$ मिलता है।

Step 4: केंद्र की स्थिति का उपयोग करना

वृत्त का केंद्र (h,k) रेखा $x - 3y - 11 = 0$ पर स्थित है। इसलिए, हम $x$ को $h$ और $y$ को $k$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिससे हमें $h = 3k + 11$ मिलता है।

Step 5: केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करना

समीकरण 2 से $h$ का मान समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर, हम $k$ का मान प्राप्त करते हैं। फिर, $k$ का मान समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करके $h$ का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार, केंद्र $\left(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ है।

Step 6: त्रिज्या ज्ञात करना

केंद्र के निर्देशांक (h,k) और दिए गए बिंदु $(2{,}3)$ का उपयोग करके, हम वृत्त की त्रिज्या $r$ का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं।

Step 7: वृत्त का समीकरण लिखना

केंद्र $\left(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ और $r^2 = \frac{65}{2}$ के मानों को वृत्त के मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है।