बिंदुओं $(5, -6)$ और $(-1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $y$ -अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: विभाजन सूत्र का उपयोग करें

मान लीजिए कि $y$ -अक्ष बिंदुओं $A(5, -6)$ और $B(-1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके, हम प्रतिच्छेद बिंदु P(x, y) के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: $x$ -निर्देशांक को शून्य के बराबर सेट करें

चूंकि प्रतिच्छेद बिंदु $y$ -अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका $x$ -निर्देशांक $0$ होगा। हम $x$ -निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र को $0$ के बराबर सेट करते हैं। यहाँ $x_1 = 5$ , $y_1 = -6$ , $x_2 = -1$ , $y_2 = -4$ , $m_1 = k$ , और $m_2 = 1$ है।

Step 3: $k$ का मान ज्ञात करें

अब हम $x$ -निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और $k$ के लिए हल करते हैं। इससे हमें वह अनुपात मिलता है जिसमें $y$ -अक्ष रेखाखंड को विभाजित करती है।

Step 4: अनुपात निर्धारित करें

हमने पाया कि $k = 5$ है, इसलिए $y$ -अक्ष रेखाखंड को $5:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।

Step 5: प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें

अब हम $y$ -निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $k=5$ और अन्य दिए गए मानों को $y$ -निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक $(0, -13/3)$ हैं।