चूंकि बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) दोनों का मान (7)/(25) है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दिया गया समीकरण सत्य है।

चूंकि बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) दोनों का मान (7)/(25) है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दिया गया समीकरण सत्य है।

यदि $3 \cot A = 4$ , तो जाँच कीजिए कि $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A$ है या नहीं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें

दिए गए समीकरण $3 \cot A = 4$ से, हम $\cot A$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। चूंकि $\tan A$ और $\cot A$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं, इसलिए हम $\tan A$ का मान भी ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाएँ ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में, जहाँ $\angle B = 90^\circ$ , यदि $\cot A = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ है, तो हम $AB = 4k$ और $BC = 3k$ मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण $AC$ का मान $5k$ होगा। सरलता के लिए, हम $k=1$ मान सकते हैं।

Step 3: अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें

अब जब हमारे पास त्रिभुज की सभी भुजाएँ हैं, तो हम $\sin A$ और $\cos A$ के मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 4: बाएँ पक्ष (LHS) का मूल्यांकन करें

दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष का मूल्यांकन करने के लिए, हम $\tan A$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

Step 5: दाएँ पक्ष (RHS) का मूल्यांकन करें

अब, हम दिए गए समीकरण के दाएँ पक्ष का मूल्यांकन करने के लिए $\sin A$ और $\cos A$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 6: निष्कर्ष

चूंकि बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) दोनों का मान $\frac{7}{25}$ है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दिया गया समीकरण सत्य है।