यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $(a^n - b^n)$ का एक गुणनखंड (a - b) है, जबकि $n$ एक धन पूर्णांक है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: बहुपद विभाजन का उपयोग करना

हम जानते हैं कि $a^n - b^n$ को (a - b) से विभाजित किया जा सकता है। बहुपद विभाजन के नियम के अनुसार, जब हम $a^n - b^n$ को (a - b) से विभाजित करते हैं, तो हमें एक भागफल प्राप्त होता है।

Step 2: भागफल की पहचान करना

यहाँ, Q(a, b) भागफल है। यह एक बहुपद है जिसमें $n$ पद हैं, जहाँ प्रत्येक पद में $a$ और $b$ की घातों का योग $(n-1)$ के बराबर है।

Step 3: गुणनखंड की परिभाषा

चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, और $n$ एक धन पूर्णांक है, तो Q(a, b) भी एक पूर्णांक होगा। इसका मतलब है कि (a - b) वास्तव में $(a^n - b^n)$ का एक गुणनखंड है।