हमें दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} के बीच का कोण θ है, और हमें वह θ ज्ञात करना है जिसके लिए सदिशों के अदिश गुणनफल का परिमाण उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर है।

हमें दिया गया है कि दो सदिशों {a} और {b} के बीच का कोण θ है, और हमें वह θ ज्ञात करना है जिसके लिए सदिशों के अदिश गुणनफल का परिमाण उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर है।

हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल {a}· {b} = | {a}|| {b}|cosθ होता है और सदिश गुणनफल {a}× {b} = | {a}|| {b}|sinθ {n} होता है, जहाँ {n} एक इकाई सदिश है। इसलिए, उनके परिमाण | {a}· {b}| = | {a}|| {b}|cosθ और | {a}× {b}| = | {a}|| {b}|sinθ हैं।

हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल {a}· {b} = | {a}|| {b}|cosθ होता है और सदिश गुणनफल {a}× {b} = | {a}|| {b}|sinθ {n} होता है, जहाँ {n} एक इकाई सदिश है। इसलिए, उनके परिमाण | {a}· {b}| = | {a}|| {b}|cosθ और | {a}× {b}| = | {a}|| {b}|sinθ हैं।

चूंकि {a} और {b} अशून्य सदिश हैं, इसलिए | {a}| ≠ 0 और | {b}| ≠ 0 । हम दोनों पक्षों को | {a}|| {b}| से विभाजित कर सकते हैं।

चूंकि {a} और {b} अशून्य सदिश हैं, इसलिए | {a}| ≠ 0 और | {b}| ≠ 0 । हम दोनों पक्षों को | {a}|| {b}| से विभाजित कर सकते हैं।

समीकरण cosθ = sinθ को cosθ से विभाजित करने पर हमें (sinθ)/(cosθ) = 1 मिलता है, जो tanθ = 1 है। θ का वह मान जिसके लिए tanθ = 1 होता है, (π)/(4) है (या 45^ )।

समीकरण cosθ = sinθ को cosθ से विभाजित करने पर हमें (sinθ)/(cosθ) = 1 मिलता है, जो tanθ = 1 है। θ का वह मान जिसके लिए tanθ = 1 होता है, (π)/(4) है (या 45^ )।

यदि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है तो $|\vec{a}\cdot\vec{b}|=|\vec{a}\times\vec{b}|$ जब $\theta$ बराबर है: (A) 0 (B) $\frac{\pi}{4}$ (C) $\frac{\pi}{2}$ (D) $\pi$

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए संबंध को लिखें

हमें दिया गया है कि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है, और हमें वह $\theta$ ज्ञात करना है जिसके लिए सदिशों के अदिश गुणनफल का परिमाण उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर है।

Step 2: अदिश और सदिश गुणनफल के सूत्रों का प्रयोग करें

हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ होता है और सदिश गुणनफल $\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n}$ होता है, जहाँ $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है। इसलिए, उनके परिमाण $|\vec{a}\cdot\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ और $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ हैं।

Step 3: समीकरण को सरल करें

चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अशून्य सदिश हैं, इसलिए $|\vec{a}| \neq 0$ और $|\vec{b}| \neq 0$ । हम दोनों पक्षों को $|\vec{a}||\vec{b}|$ से विभाजित कर सकते हैं।

Step 4: $\theta$ के लिए हल करें

समीकरण $\cos\theta = \sin\theta$ को $\cos\theta$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1$ मिलता है, जो $\tan\theta = 1$ है। $\theta$ का वह मान जिसके लिए $\tan\theta = 1$ होता है, $\frac{\pi}{4}$ है (या $45^\circ$ )।