दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों की तुलना मानक रूप {r} = {a}_{1} + {b}_{1} और {r} = {a}_{2} + {b}_{2} से करने पर, हमें {a}_{1} , {b}_{1} , {a}_{2} और {b}_{2} के मान प्राप्त होते हैं।

दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों की तुलना मानक रूप {r} = {a}_{1} + {b}_{1} और {r} = {a}_{2} + {b}_{2} से करने पर, हमें {a}_{1} , {b}_{1} , {a}_{2} और {b}_{2} के मान प्राप्त होते हैं।

न्यूनतम दूरी के सूत्र के लिए हमें {a}_{2} - {a}_{1} और {b}_{1} × {b}_{2} की गणना करनी होगी। {a}_{2} - {a}_{1} दो रेखाओं के बीच के स्थिति सदिश का अंतर है, और {b}_{1} × {b}_{2} दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत एक सदिश देता है।

न्यूनतम दूरी के सूत्र के लिए हमें {a}_{2} - {a}_{1} और {b}_{1} × {b}_{2} की गणना करनी होगी। {a}_{2} - {a}_{1} दो रेखाओं के बीच के स्थिति सदिश का अंतर है, और {b}_{1} × {b}_{2} दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत एक सदिश देता है।

रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} +3\hat{k}) + \lambda (\hat{i}-3\hat{j} +2\hat{k})$ और $\vec{r} = 4\hat{i} +5\hat{j} +6\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए समीकरणों की तुलना करना

दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों की तुलना मानक रूप $\vec{r} = \vec{a}_{1} + \lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r} = \vec{a}_{2} + \mu \vec{b}_{2}$ से करने पर, हमें $\vec{a}_{1}$ , $\vec{b}_{1}$ , $\vec{a}_{2}$ और $\vec{b}_{2}$ के मान प्राप्त होते हैं।

Step 2: सदिशों के मान ज्ञात करना

पहले चरण में की गई तुलना के आधार पर, हमने प्रत्येक सदिश के घटकों को पहचाना है। ये सदिश रेखाओं की स्थिति और दिशा को दर्शाते हैं।

Step 3: $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करना

न्यूनतम दूरी के सूत्र के लिए हमें $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करनी होगी। $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ दो रेखाओं के बीच के स्थिति सदिश का अंतर है, और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत एक सदिश देता है।

Step 4: $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|$ की गणना करना

हमें सदिश गुणनफल $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ के परिमाण की आवश्यकता है। यह परिमाण दो दिशा सदिशों द्वारा बनाए गए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है।

Step 5: न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करना

दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र यह है। यह सूत्र दो रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को दर्शाता है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत होती है।

Step 6: मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

अब हम पहले से गणना किए गए मानों को न्यूनतम दूरी के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। अदिश गुणनफल की गणना करने के बाद, हम इसे सदिश गुणनफल के परिमाण से विभाजित करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।