सिद्ध कीजिए कि यदि E और F दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो E और F' भी स्वतंत्र होंगी।
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Step-by-Step Solution
Step 1: स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा
दो घटनाएँ
E
और
F
स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर हो। यह स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा है।
Step 2: घटना
F′
की प्रायिकता
किसी घटना
F
के पूरक
F′
की प्रायिकता
1
में से
F
की प्रायिकता घटाकर प्राप्त की जाती है। यह प्रायिकता के मूल नियमों में से एक है।
Step 3: प्रतिच्छेदन
E∩F′
की प्रायिकता
हम जानते हैं कि घटना
E
को दो असंयुक्त घटनाओं
E∩F
और
E∩F′
के संघ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए,
P(E)=P(E∩F)+P(E∩F′)
। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें
P(E∩F′)
का मान मिलता है।
Step 4: स्वतंत्रता की शर्त लागू करना
चूंकि
E
और
F
स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम चरण 1 से
P(E∩F)=P(E)P(F)
को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
Step 5: व्यंजक को सरल बनाना
दाहिनी ओर से P(E) को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें P(E)(1 - P(F)) प्राप्त होता है।
Step 6: अंतिम परिणाम
चरण 2 से, हम जानते हैं कि
1−P(F)=P(F′)
। इस प्रतिस्थापन से हमें
P(E∩F′)=P(E)P(F′)
प्राप्त होता है, जो दर्शाता है कि
E
और
F′
स्वतंत्र घटनाएँ हैं।