त्रिभुज ASO और APO में, AS = AP (एक ही बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ), OS = OP (वृत्त की त्रिज्याएँ), और OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा)। इसलिए, SSS सर्वांगसमता नियम से ASO APO । इसी प्रकार, हम अन्य त्रिभुजों की सर्वांगसमता भी सिद्ध कर सकते हैं: BPO BQO , CQO CRO , और DRO DSO ।

त्रिभुज ASO और APO में, AS = AP (एक ही बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ), OS = OP (वृत्त की त्रिज्याएँ), और OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा)। इसलिए, SSS सर्वांगसमता नियम से ASO APO । इसी प्रकार, हम अन्य त्रिभुजों की सर्वांगसमता भी सिद्ध कर सकते हैं: BPO BQO , CQO CRO , और DRO DSO ।

चूंकि ASO APO , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः AOS = AOP । इसी प्रकार, BOP = BOQ , COQ = COR , और DOR = DOS । हम इन कोणों को क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 से निरूपित करते हैं, जहाँ 1 = 2 , 3 = 4 , 5 = 6 , और 7 = 8 ।

चूंकि ASO APO , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः AOS = AOP । इसी प्रकार, BOP = BOQ , COQ = COR , और DOR = DOS । हम इन कोणों को क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 से निरूपित करते हैं, जहाँ 1 = 2 , 3 = 4 , 5 = 6 , और 7 = 8 ।

वृत्त के केंद्र पर बने सभी कोणों का योग 360^ होता है। इसलिए, AOS + AOP + BOP + BOQ + COQ + COR + DOR + DOS = 360^ ।

वृत्त के केंद्र पर बने सभी कोणों का योग 360^ होता है। इसलिए, AOS + AOP + BOP + BOQ + COQ + COR + DOR + DOS = 360^ ।

पिछले चरण से, हम जानते हैं कि 1 = 2 , 3 = 4 , 5 = 6 , और 7 = 8 । इन मानों को केंद्र पर कुल कोण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2 2 + 2 3 + 2 6 + 2 7 = 360^ । इसे 2 से विभाजित करने पर: 2 + 3 + 6 + 7 = 180^ । हम जानते हैं कि AOB = 2 + 3 और COD = 6 + 7 । अतः, AOB + COD = 180^ । इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि BOC + DOA = 180^ ।

पिछले चरण से, हम जानते हैं कि 1 = 2 , 3 = 4 , 5 = 6 , और 7 = 8 । इन मानों को केंद्र पर कुल कोण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2 2 + 2 3 + 2 6 + 2 7 = 360^ । इसे 2 से विभाजित करने पर: 2 + 3 + 6 + 7 = 180^ । हम जानते हैं कि AOB = 2 + 3 और COD = 6 + 7 । अतः, AOB + COD = 180^ । इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि BOC + DOA = 180^ ।

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: आकृति का निर्माण और स्पर्श रेखाओं के गुण

हम एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD की कल्पना करते हैं, जिसका केंद्र $O$ है। भुजाएँ AB, BC, CD, DA वृत्त को क्रमशः P, Q, R, S बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। साथ ही, बाहरी बिंदु से केंद्र को मिलाने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

Step 2: त्रिभुजों की सर्वांगसमता

त्रिभुज $ASO$ और $APO$ में, $AS = AP$ (एक ही बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ), $OS = OP$ (वृत्त की त्रिज्याएँ), और $OA = OA$ (उभयनिष्ठ भुजा)। इसलिए, $SSS$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle ASO \cong \triangle APO$ । इसी प्रकार, हम अन्य त्रिभुजों की सर्वांगसमता भी सिद्ध कर सकते हैं: $\triangle BPO \cong \triangle BQO$ , $\triangle CQO \cong \triangle CRO$ , और $\triangle DRO \cong \triangle DSO$ ।

Step 3: केंद्र पर बने कोणों की समानता

चूंकि $\triangle ASO \cong \triangle APO$ , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः $\angle AOS = \angle AOP$ । इसी प्रकार, $\angle BOP = \angle BOQ$ , $\angle COQ = \angle COR$ , और $\angle DOR = \angle DOS$ । हम इन कोणों को क्रमशः $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ से निरूपित करते हैं, जहाँ $\angle 1 = \angle 2$ , $\angle 3 = \angle 4$ , $\angle 5 = \angle 6$ , और $\angle 7 = \angle 8$ ।

Step 4: केंद्र पर कुल कोण

वृत्त के केंद्र पर बने सभी कोणों का योग $360^\circ$ होता है। इसलिए, $\angle AOS + \angle AOP + \angle BOP + \angle BOQ + \angle COQ + \angle COR + \angle DOR + \angle DOS = 360^\circ$ ।

Step 5: संपूरक कोणों का प्रमाण

पिछले चरण से, हम जानते हैं कि $\angle 1 = \angle 2$ , $\angle 3 = \angle 4$ , $\angle 5 = \angle 6$ , और $\angle 7 = \angle 8$ । इन मानों को केंद्र पर कुल कोण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2\angle 2 + 2\angle 3 + 2\angle 6 + 2\angle 7 = 360^\circ$ । इसे $2$ से विभाजित करने पर: $\angle 2 + \angle 3 + \angle 6 + \angle 7 = 180^\circ$ । हम जानते हैं कि $\angle AOB = \angle 2 + \angle 3$ और $\angle COD = \angle 6 + \angle 7$ । अतः, $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$ । इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle BOC + \angle DOA = 180^\circ$ ।