हमें यह सत्यापित करना है कि दिया गया फलन y = √(a² - x²) अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 का हल है। इसके लिए, हमें पहले फलन का x के सापेक्ष अवकलन करना होगा।

हमें यह सत्यापित करना है कि दिया गया फलन y = √(a² - x²) अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 का हल है। इसके लिए, हमें पहले फलन का x के सापेक्ष अवकलन करना होगा।

श्रृंखला नियम का उपयोग करके, पहले हम (a² - x²)^{1/2} का अवकलन करेंगे, जो (1)/(2)(a² - x²)^{-1/2} देता है। फिर, हम (a² - x²) का अवकलन करेंगे, जो -2x देता है।

श्रृंखला नियम का उपयोग करके, पहले हम (a² - x²)^{1/2} का अवकलन करेंगे, जो (1)/(2)(a² - x²)^{-1/2} देता है। फिर, हम (a² - x²) का अवकलन करेंगे, जो -2x देता है।

अब हम अवकलन को सरल करेंगे। 2 और -2x में से 2 कट जाएगा, जिससे हमें -x(a² - x²)^{-1/2} मिलेगा। इसे हम {-x}{√(a² - x²)} के रूप में भी लिख सकते हैं।

अब हम अवकलन को सरल करेंगे। 2 और -2x में से 2 कट जाएगा, जिससे हमें -x(a² - x²)^{-1/2} मिलेगा। इसे हम {-x}{√(a² - x²)} के रूप में भी लिख सकते हैं।

अब हम y और (dy)/(dx) के मानों को दिए गए अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 में प्रतिस्थापित करेंगे।

अब हम y और (dy)/(dx) के मानों को दिए गए अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 में प्रतिस्थापित करेंगे।

प्रतिस्थापन के बाद, √(a² - x²) पद कट जाएगा, जिससे हमें x + (-x) मिलेगा। इसे सरल करने पर 0 प्राप्त होता है।

प्रतिस्थापन के बाद, √(a² - x²) पद कट जाएगा, जिससे हमें x + (-x) मिलेगा। इसे सरल करने पर 0 प्राप्त होता है।

सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $y = \sqrt{a^2 - x^2}, x \in (-a, a)$ संगत अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0 (y \neq 0)$ का हल है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए फलन को लिखें

हमें यह सत्यापित करना है कि दिया गया फलन $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ का हल है। इसके लिए, हमें पहले फलन का $x$ के सापेक्ष अवकलन करना होगा।

Step 2: $x$ के सापेक्ष अवकलन करें

अब हम फलन $y = (a^2 - x^2)^{1/2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे। इसके लिए हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे।

Step 3: श्रृंखला नियम लागू करें

श्रृंखला नियम का उपयोग करके, पहले हम $(a^2 - x^2)^{1/2}$ का अवकलन करेंगे, जो $\frac{1}{2}(a^2 - x^2)^{-1/2}$ देता है। फिर, हम $(a^2 - x^2)$ का अवकलन करेंगे, जो $-2x$ देता है।

Step 4: अवकलन को सरल करें

अब हम अवकलन को सरल करेंगे। $2$ और $-2x$ में से $2$ कट जाएगा, जिससे हमें $-x(a^2 - x^2)^{-1/2}$ मिलेगा। इसे हम $\frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ के रूप में भी लिख सकते हैं।

Step 5: अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें

अब हम $y$ और $\frac{dy}{dx}$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 6: समीकरण को सरल करें

प्रतिस्थापन के बाद, $\sqrt{a^2 - x^2}$ पद कट जाएगा, जिससे हमें x + (-x) मिलेगा। इसे सरल करने पर $0$ प्राप्त होता है।

Step 7: निष्कर्ष

चूंकि हमने अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करके $0$ प्राप्त किया, जो दाहिने पक्ष के बराबर है, इसलिए यह सत्यापित होता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।