सिद्ध कीजिए कि integral from 0 to pi/2 of sqrt(sin(x)) / (sqrt(sin(x)) + sqrt(cos(x))) dx = pi / 4.
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Step-by-Step Solution
Step 1: दिए गए समाकल को $I$ मानिए
हम दिए गए निश्चित समाकल को $I$ के बराबर मानते हैं। यह हमें समाकल को हल करने के लिए आगे बढ़ने में मदद करेगा।
Step 2: निश्चित समाकल के गुण का प्रयोग करें
हम निश्चित समाकल के गुण $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं। यहाँ, $a = \pi/2$ है।
Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें
हम जानते हैं कि $\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)$ और $\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$। इन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम समाकल को सरल बनाते हैं और इसे समीकरण 2 के रूप में चिह्नित करते हैं।
Step 4: समीकरण 1 और 2 को जोड़ें
हम समीकरण 1 और समीकरण 2 को जोड़ते हैं। चूंकि दोनों समाकल की सीमाएँ समान हैं और हर भी समान हैं, हम उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं।
Step 5: समाकल को सरल करें और हल करें
अंश और हर समान होने के कारण, समाकल के अंदर का व्यंजक $1$ हो जाता है। $1$ का समाकल $x$ होता है। हम ऊपरी और निचली सीमाएँ लागू करते हैं और $I$ के लिए हल करते हैं।