सिद्ध कीजिए कि सारणिक |[1, a, a^2], [1, b, b^2], [1, c, c^2]| = (a-b)(b-c)(c-a).
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक को लिखें
हम दिए गए सारणिक को $\Delta के रूप में लिखते हैं। यह एक 3 \times 3 सारणिक है जिसमें प्रत्येक पंक्ति में 1$, एक चर और उस चर का वर्ग है।$
Step 2: पंक्ति संक्रियाएँ लागू करें
सारणिक को सरल बनाने के लिए, हम पंक्ति संक्रियाएँ लागू करते हैं। हम दूसरी पंक्ति में से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R_2 \to R_2 - R_1) और तीसरी पंक्ति में से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R_3 \to R_3 - R_1)। यह पहले स्तंभ में दो शून्य उत्पन्न करेगा।
Step 3: संक्रियाओं के बाद सारणिक
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने के बाद, सारणिक इस रूप में बदल जाता है। ध्यान दें कि b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) और c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$।
Step 4: सामान्य पद बाहर निकालें
हम दूसरी पंक्ति से (b-a) और तीसरी पंक्ति से (c-a) को सामान्य पद के रूप में बाहर निकालते हैं।
Step 5: सारणिक का विस्तार करें
हम पहले स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करते हैं। केवल पहला पद गैर-शून्य होगा। विस्तार करने पर, हमें (c+a) - (b+a) मिलता है, जो c-b के बराबर है।
Step 6: अंतिम परिणाम
हम (b-a) को -(a-b) और (c-b) को -(b-c) के रूप में लिख सकते हैं। इस प्रकार, (b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(c-a)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$। यह सिद्ध करता है कि दिया गया सारणिक (a-b)(b-c)(c-a) के बराबर है।