मान लेते हैं कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2√5 = (a)/(b) हो।

मान लेते हैं कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2√5 = (a)/(b) हो।

समीकरण के दोनों पक्षों में से 3 घटाने पर, हमें 2√5 का मान (a)/(b) - 3 प्राप्त होता है।

दाएं पक्ष के पदों का उभयनिष्ठ हर b लेकर सरल करने पर हमें (a - 3b)/(b) प्राप्त होता है।

दाएं पक्ष के पदों का उभयनिष्ठ हर b लेकर सरल करने पर हमें (a - 3b)/(b) प्राप्त होता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर √5 = (a - 3b)/(2b) प्राप्त होता है।

चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए a - 3b तथा 2b भी पूर्णांक होंगे और (a - 3b)/(2b) एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि √5 भी एक परिमेय संख्या है, परन्तु हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए a - 3b तथा 2b भी पूर्णांक होंगे और (a - 3b)/(2b) एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि √5 भी एक परिमेय संख्या है, परन्तु हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है। अतः निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है। अतः निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

सिद्ध कीजिए की $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या [है।]

Answer: इति सिद्धम् : $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Step-by-step solution

Step 1: विपरीत मानना (विरोधाभास विधि)

मान लेते हैं कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ ( $b \neq 0$ ) ज्ञात कर सकते हैं कि $3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।

Step 2: अपरिमेय पद को अलग करना

समीकरण के दोनों पक्षों में से 3 घटाने पर, हमें $2\sqrt{5}$ का मान $\frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।

Step 3: दाएं पक्ष को सरल करना

दाएं पक्ष के पदों का उभयनिष्ठ हर $b$ लेकर सरल करने पर हमें $\frac{a - 3b}{b}$ प्राप्त होता है।

Step 4: $\sqrt{5}$ का मान ज्ञात करना

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर $\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$ प्राप्त होता है।

Step 5: विरोधाभास प्राप्त होना

चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, इसलिए $a - 3b$ तथा $2b$ भी पूर्णांक होंगे और $\frac{a - 3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या है, परन्तु हम जानते हैं कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Step 6: अंतिम निष्कर्ष

यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। अतः निष्कर्ष निकलता है कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

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सिद्ध कीजिए की 3+253 + 2\sqrt{5}3+25​ एक अपरिमेय संख्या [है।]