आकृति 6.30 में ∠P ज्ञात कीजिए। [आकृति: △ABC में AB = 3.8, BC = 6, CA = 33, ∠A=80°, ∠B=60°; तथा △PQR में PQ = 12, QR = 7.6, RP = 63 ।]
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Step-by-Step Solution
Step 1: भुजाओं का अनुपात ज्ञात करना
सबसे पहले, हम दिए गए त्रिभुजों △ABC और △PQR की भुजाओं के अनुपात की जांच करेंगे ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वे समरूप हैं या नहीं। भुजाओं को संगत क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। हम △ABC की भुजाओं को △PQR की भुजाओं के साथ विभाजित करके अनुपात ज्ञात करते हैं।
Step 2: पहले अनुपात की गणना
त्रिभुज △ABC की भुजा AB का माप 3.8 है और त्रिभुज △PQR की भुजा QR का माप 7.6 है। हम इन भुजाओं का अनुपात ज्ञात करते हैं, जो 73.8.6=21 आता है।
Step 3: दूसरे अनुपात की गणना
त्रिभुज △ABC की भुजा BC का माप 6 है और त्रिभुज △PQR की भुजा RP का माप 63 है। इन भुजाओं का अनुपात 636=31 आता है।
Step 4: तीसरे अनुपात की गणना
त्रिभुज △ABC की भुजा CA का माप 33 है और त्रिभुज △PQR की भुजा PQ का माप 12 है। इन भुजाओं का अनुपात 1233=43 आता है।
Step 5: भुजाओं का मिलान और नए अनुपातों की गणना
पिछले चरण में हमने भुजाओं का मिलान गलत तरीके से किया था। अब हम भुजाओं को सही संगतता के साथ फिर से जांचते हैं। यदि △ABC∼△RQP है, तो हमें RQAB=QPBC=RPCA की जांच करनी होगी। आइए देखें: RQAB=73.8.6=21 । QPBC=126=21 । RPCA=6333=21 । सभी अनुपात 21 के बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज समरूप हैं।
Step 6: समरूपता मानदंड लागू करना
चूंकि QRAB=RPBC=PQCA=21 (मापों को AB=3.8,BC=6,CA=33 और QR=7.6,RP=12,PQ=63 के रूप में लेते हुए), सभी संगत भुजाओं का अनुपात समान है। इसलिए, SSS समरूपता मानदंड के अनुसार, △ABC त्रिभुज △RQP के समरूप है। यहां ध्यान दें कि PQ=12 और RP=63 है, इसलिए हमें संगत भुजाओं को QRAB=73.8.6=21, RPBC=126=21 और PQCA=6333=21 के रूप में मिलाना होगा। इससे पता चलता है कि △ABC∼△RQP ।
Step 7: संगत कोण ज्ञात करना
चूंकि △ABC∼△RQP है, उनके संगत कोण समान होंगे। इसलिए, ∠A=∠R, ∠B=∠Q, और ∠C=∠P ।
Step 8: कोण ∠C ज्ञात करना
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है। △ABC में, ∠A=80° और ∠B=60° दिया गया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम ∠C का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 9: कोण ∠P ज्ञात करना
चूंकि △ABC∼△RQP है, इसलिए संगत कोण समान हैं। हमने ∠C=40° ज्ञात किया है, और चूंकि ∠C त्रिभुज △RQP के कोण ∠P के संगत है, इसलिए ∠P का मान भी 40° होगा।