आकृति 6.30 में $\angle P$ ज्ञात कीजिए। [आकृति: $\triangle ABC$ में AB = 3.8, BC = 6, CA = $3\sqrt{3}$, $\angle A = 80°$, $\angle B = 60°$; तथा $\triangle PQR$ में PQ = 12, QR = 7.6, RP = $6\sqrt{3}$ ।]

Step 1: भुजाओं का अनुपात ज्ञात करना

सबसे पहले, हम दिए गए त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ की भुजाओं के अनुपात की जांच करेंगे ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वे समरूप हैं या नहीं। भुजाओं को संगत क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। हम $\triangle ABC$ की भुजाओं को $\triangle PQR$ की भुजाओं के साथ विभाजित करके अनुपात ज्ञात करते हैं।

Step 2: पहले अनुपात की गणना

त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजा AB का माप $3.8$ है और त्रिभुज $\triangle PQR$ की भुजा QR का माप $7.6$ है। हम इन भुजाओं का अनुपात ज्ञात करते हैं, जो $\frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$ आता है।

Step 3: दूसरे अनुपात की गणना

त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजा BC का माप $6$ है और त्रिभुज $\triangle PQR$ की भुजा RP का माप $6\sqrt{3}$ है। इन भुजाओं का अनुपात $\frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ आता है।

Step 4: तीसरे अनुपात की गणना

त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजा CA का माप $3\sqrt{3}$ है और त्रिभुज $\triangle PQR$ की भुजा PQ का माप $12$ है। इन भुजाओं का अनुपात $\frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ आता है।

Step 5: भुजाओं का मिलान और नए अनुपातों की गणना

पिछले चरण में हमने भुजाओं का मिलान गलत तरीके से किया था। अब हम भुजाओं को सही संगतता के साथ फिर से जांचते हैं। यदि $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ है, तो हमें $\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{RP}$ की जांच करनी होगी। आइए देखें: $\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$ । $\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ । $\frac{CA}{RP} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ । सभी अनुपात $\frac{1}{2}$ के बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज समरूप हैं।

Step 6: समरूपता मानदंड लागू करना

चूंकि $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{CA}{PQ} = \frac{1}{2}$ (मापों को $AB=3.8, BC=6, CA=3\sqrt{3}$ और $QR=7.6, RP=12, PQ=6\sqrt{3}$ के रूप में लेते हुए), सभी संगत भुजाओं का अनुपात समान है। इसलिए, SSS समरूपता मानदंड के अनुसार, $\triangle ABC$ त्रिभुज $\triangle RQP$ के समरूप है। यहां ध्यान दें कि $PQ=12$ और $RP=6\sqrt{3}$ है, इसलिए हमें संगत भुजाओं को $\frac{AB}{QR} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$, $\frac{BC}{RP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ और $\frac{CA}{PQ} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ के रूप में मिलाना होगा। इससे पता चलता है कि $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ ।

Step 7: संगत कोण ज्ञात करना

चूंकि $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ है, उनके संगत कोण समान होंगे। इसलिए, $\angle A = \angle R$, $\angle B = \angle Q$, और $\angle C = \angle P$ ।

Step 8: कोण $\angle C$ ज्ञात करना

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180°$ होता है। $\triangle ABC$ में, $\angle A = 80°$ और $\angle B = 60°$ दिया गया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम $\angle C$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 9: कोण $\angle P$ ज्ञात करना

चूंकि $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ है, इसलिए संगत कोण समान हैं। हमने $\angle C = 40°$ ज्ञात किया है, और चूंकि $\angle C$ त्रिभुज $\triangle RQP$ के कोण $\angle P$ के संगत है, इसलिए $\angle P$ का मान भी $40°$ होगा।

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