एक त्रिभुज $ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC = \angle BAC$ है। दर्शाइए कि $CA^2 = CB \cdot CD$ है।

चरण 1: दिए गए त्रिभुजों की पहचान करें

हमें यह सिद्ध करना है कि $$CA^2 = CB \cdot CD$$ । इसे सिद्ध करने के लिए, हम दो त्रिभुजों $$\triangle ABC$$ और $$\triangle DAC$$ पर विचार करेंगे।

चरण 2: त्रिभुजों में समानता के लिए कोणों की तुलना करें

दिए गए प्रश्न के अनुसार, $$\angle BAC = \angle ADC$$ है। साथ ही, $$\angle ACB$$ और $$\angle DCA$$ दोनों त्रिभुजों $$\triangle ABC$$ और $$\triangle DAC$$ में उभयनिष्ठ कोण हैं।

चरण 3: AA समरूपता कसौटी लागू करें

चूंकि दो त्रिभुजों के दो संगत कोण बराबर हैं, इसलिए AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज $$\triangle ABC$$ और $$\triangle DAC$$ समरूप हैं।

चरण 4: समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात लिखें

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है। इसलिए, हम $$\frac{CB}{CA} = \frac{CA}{CD}$$ लिख सकते हैं।

चरण 5: परिणाम को सरल करें

उपरोक्त अनुपात को वज्रगुणा (cross-multiply) करने पर, हमें $$CA \cdot CA = CB \cdot CD$$ प्राप्त होता है, जो $$CA^2 = CB \cdot CD$$ के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• ABCD एक समलंब है जिसमें AB DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि (AO)/(BO) = (CO)/(DO) है।
• एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।

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