हमें यह सिद्ध करना है कि CA² = CB · CD । इसे सिद्ध करने के लिए, हम दो त्रिभुजों ABC और DAC पर विचार करेंगे।

हमें यह सिद्ध करना है कि CA² = CB · CD । इसे सिद्ध करने के लिए, हम दो त्रिभुजों ABC और DAC पर विचार करेंगे।

दिए गए प्रश्न के अनुसार, BAC = ADC है। साथ ही, ACB और DCA दोनों त्रिभुजों ABC और DAC में उभयनिष्ठ कोण हैं।

दिए गए प्रश्न के अनुसार, BAC = ADC है। साथ ही, ACB और DCA दोनों त्रिभुजों ABC और DAC में उभयनिष्ठ कोण हैं।

उपरोक्त अनुपात को वज्रगुणा (cross-multiply) करने पर, हमें CA · CA = CB · CD प्राप्त होता है, जो CA² = CB · CD के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।

उपरोक्त अनुपात को वज्रगुणा (cross-multiply) करने पर, हमें CA · CA = CB · CD प्राप्त होता है, जो CA² = CB · CD के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।

एक त्रिभुज $ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC = \angle BAC$ है। दर्शाइए कि $CA^2 = CB \cdot CD$ है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए त्रिभुजों की पहचान करें

हमें यह सिद्ध करना है कि $CA^2 = CB \cdot CD$ । इसे सिद्ध करने के लिए, हम दो त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle DAC$ पर विचार करेंगे।

Step 2: त्रिभुजों में समानता के लिए कोणों की तुलना करें

दिए गए प्रश्न के अनुसार, $\angle BAC = \angle ADC$ है। साथ ही, $\angle ACB$ और $\angle DCA$ दोनों त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle DAC$ में उभयनिष्ठ कोण हैं।

Step 3: AA समरूपता कसौटी लागू करें

चूंकि दो त्रिभुजों के दो संगत कोण बराबर हैं, इसलिए AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle DAC$ समरूप हैं।

Step 4: समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात लिखें

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है। इसलिए, हम $\frac{CB}{CA} = \frac{CA}{CD}$ लिख सकते हैं।

Step 5: परिणाम को सरल करें

उपरोक्त अनुपात को वज्रगुणा (cross-multiply) करने पर, हमें $CA \cdot CA = CB \cdot CD$ प्राप्त होता है, जो $CA^2 = CB \cdot CD$ के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।