ABCD एक समलंब है जिसमें $AB \parallel DC$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है।

चरण 1: समलंब का आरेखण

सबसे पहले, हम एक समलंब ABCD बनाते हैं जिसमें $$AB$$ भुजा $$DC$$ के समानांतर है। विकर्ण $$AC$$ और $$BD$$ एक दूसरे को बिंदु $$O$$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चरण 2: रचना

बिंदु $$O$$ से होकर $$AB$$ के समानांतर एक रेखा $$OE$$ खींचिए, जो $$AD$$ को $$E$$ पर प्रतिच्छेद करती है। चूंकि $$AB \parallel DC$$ है, इसलिए $$OE \parallel DC$$ भी होगा।

चरण 3: त्रिभुज $$ADC$$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का अनुप्रयोग

त्रिभुज $$ADC$$ में, हमारे पास $$OE \parallel DC$$ है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो यह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। इसलिए, $$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$$ ।

चरण 4: त्रिभुज $$DAB$$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का अनुप्रयोग

इसी प्रकार, त्रिभुज $$DAB$$ में, हमारे पास $$OE \parallel AB$$ है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं कि $$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$$ ।

चरण 5: परिणामों की तुलना

समीकरण (1) और (2) से, हम देखते हैं कि दोनों $$\frac{AE}{ED}$$ के बराबर हैं। इसलिए, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं: $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$ ।

चरण 6: अंतिम अनुपात

अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं: $$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$ । यह सिद्ध करता है कि समलंब के विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB · CD है।
• एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।

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