इसी प्रकार, त्रिभुज DAB में, हमारे पास OE AB है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं कि (AE)/(ED) = (BO)/(OD) ।

इसी प्रकार, त्रिभुज DAB में, हमारे पास OE AB है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं कि (AE)/(ED) = (BO)/(OD) ।

समीकरण (1) और (2) से, हम देखते हैं कि दोनों (AE)/(ED) के बराबर हैं। इसलिए, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं: (AO)/(OC) = (BO)/(OD) ।

समीकरण (1) और (2) से, हम देखते हैं कि दोनों (AE)/(ED) के बराबर हैं। इसलिए, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं: (AO)/(OC) = (BO)/(OD) ।

अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं: (AO)/(BO) = (CO)/(DO) । यह सिद्ध करता है कि समलंब के विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं: (AO)/(BO) = (CO)/(DO) । यह सिद्ध करता है कि समलंब के विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

ABCD एक समलंब है जिसमें $AB \parallel DC$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: समलंब का आरेखण

सबसे पहले, हम एक समलंब ABCD बनाते हैं जिसमें $AB$ भुजा $DC$ के समानांतर है। विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

Step 2: रचना

बिंदु $O$ से होकर $AB$ के समानांतर एक रेखा $OE$ खींचिए, जो $AD$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। चूंकि $AB \parallel DC$ है, इसलिए $OE \parallel DC$ भी होगा।

Step 3: त्रिभुज $ADC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का अनुप्रयोग

त्रिभुज $ADC$ में, हमारे पास $OE \parallel DC$ है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो यह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। इसलिए, $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ ।

Step 4: त्रिभुज $DAB$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का अनुप्रयोग

इसी प्रकार, त्रिभुज $DAB$ में, हमारे पास $OE \parallel AB$ है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं कि $\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ ।

Step 5: परिणामों की तुलना

समीकरण (1) और (2) से, हम देखते हैं कि दोनों $\frac{AE}{ED}$ के बराबर हैं। इसलिए, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं: $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$ ।

Step 6: अंतिम अनुपात

अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं: $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ । यह सिद्ध करता है कि समलंब के विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।