दीर्घवृत्त के समीकरण से, हम y के लिए हल करते हैं। सबसे पहले, हम x²/a² पद को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ले जाते हैं। फिर, हम b² से गुणा करते हैं और वर्गमूल लेते हैं। चूंकि हम क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं, हम y के धनात्मक मान पर विचार करते हैं, जो दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से को दर्शाता है।

दीर्घवृत्त के समीकरण से, हम y के लिए हल करते हैं। सबसे पहले, हम x²/a² पद को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ले जाते हैं। फिर, हम b² से गुणा करते हैं और वर्गमूल लेते हैं। चूंकि हम क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं, हम y के धनात्मक मान पर विचार करते हैं, जो दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से को दर्शाता है।

हम मानक समाकलन सूत्र ∫ {a^{2} - x^{2}} dx = (x)/(2) {a^{2} - x^{2}} + {a^{2}}{2}sin^{-1}(x)/(a) का उपयोग करते हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दीर्घवृत्त के समीकरण से $y$ का मान ज्ञात करना

दीर्घवृत्त के समीकरण से, हम $y$ के लिए हल करते हैं। सबसे पहले, हम $x^2/a^2$ पद को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ले जाते हैं। फिर, हम $b^2$ से गुणा करते हैं और वर्गमूल लेते हैं। चूंकि हम क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं, हम $y$ के धनात्मक मान पर विचार करते हैं, जो दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से को दर्शाता है।

Step 2: दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र स्थापित करना

दीर्घवृत्त $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित होता है। इसलिए, हम प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं। प्रथम चतुर्थांश में $x$ की सीमा $0$ से $a$ तक होती है।

Step 3: समाकलन करना

हम मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हैं।

Step 4: सीमाओं को लागू करना

अब हम समाकलन की ऊपरी सीमा $x=a$ और निचली सीमा $x=0$ को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: सरल करना

हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1}(0) = 0$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।