दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दीर्घवृत्त के समीकरण से $$y$$ का मान ज्ञात करना

दीर्घवृत्त के समीकरण से, हम $$y$$ के लिए हल करते हैं। सबसे पहले, हम $$x^2/a^2$$ पद को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ले जाते हैं। फिर, हम $$b^2$$ से गुणा करते हैं और वर्गमूल लेते हैं। चूंकि हम क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं, हम $$y$$ के धनात्मक मान पर विचार करते हैं, जो दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से को दर्शाता है।

चरण 2: दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र स्थापित करना

दीर्घवृत्त $$x$$ -अक्ष और $$y$$ -अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित होता है। इसलिए, हम प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं। प्रथम चतुर्थांश में $$x$$ की सीमा $$0$$ से $$a$$ तक होती है।

चरण 3: समाकलन करना

हम मानक समाकलन सूत्र $$\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$$ का उपयोग करते हैं।

चरण 4: सीमाओं को लागू करना

अब हम समाकलन की ऊपरी सीमा $$x=a$$ और निचली सीमा $$x=0$$ को प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 5: सरल करना

हम जानते हैं कि $$\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$$ और $$\sin^{-1}(0) = 0$$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) y = x²; x = 1, x = 2 एवं x -अक्ष (ii) y = x^4; x = 1, x = 5 एवं x -अक्ष

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