दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) $y = x^2$; $x = 1$, $x = 2$ एवं $x$ -अक्ष (ii) $y = x^4$; $x = 1$, $x = 5$ एवं $x$ -अक्ष

चरण 1: भाग (i) के लिए क्षेत्रफल ज्ञात करें

हमें वक्र $$y = x^2$$ , रेखाओं $$x = 1$$ , $$x = 2$$ और $$x$$ -अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। क्षेत्रफल को निश्चित समाकलन का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

चरण 2: समाकलन करें

अब हम $$x^2$$ का समाकलन करते हैं, जो $$\frac{x^3}{3}$$ होता है। फिर हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 3: सीमाओं को प्रतिस्थापित करें

समाकलन की ऊपरी सीमा $$x=2$$ और निचली सीमा $$x=1$$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$$ मिलता है, जिसे सरल करने पर $$\frac{7}{3}$$ प्राप्त होता है।

चरण 4: भाग (ii) के लिए क्षेत्रफल ज्ञात करें

अब हम दूसरे भाग के लिए क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, जिसमें वक्र $$y = x^4$$ , रेखाएँ $$x = 1$$ , $$x = 5$$ और $$x$$ -अक्ष शामिल हैं।

चरण 5: समाकलन करें और सीमाओं को प्रतिस्थापित करें

हम $$x^4$$ का समाकलन करते हैं, जो $$\frac{x^5}{5}$$ होता है। फिर हम ऊपरी सीमा $$x=5$$ और निचली सीमा $$x=1$$ को प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 6: सरल करें

गणना करने पर, $$5^5 = 3125$$ और $$1^5 = 1$$ । इसलिए, हमें $$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5}$$ मिलता है, जिसे सरल करने पर $$\frac{3124}{5}$$ प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• दीर्घवृत्त (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।

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