एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप P(x) = k(x² - (α + β)x + αβ) होता है, जहाँ k कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या है। यहाँ, (α + β) शून्यकों का योग है और αβ शून्यकों का गुणनफल है।

एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप P(x) = k(x² - (α + β)x + αβ) होता है, जहाँ k कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या है। यहाँ, (α + β) शून्यकों का योग है और αβ शून्यकों का गुणनफल है।

भाग (ii) के लिए, शून्यकों का योग √(2) और गुणनफल (1)/(3) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = kx² - √(2)x + (1)/(3) मिलता है। k=3 लेने पर, हमें 3x² - 3√(2)x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (ii) के लिए, शून्यकों का योग √(2) और गुणनफल (1)/(3) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = kx² - √(2)x + (1)/(3) मिलता है। k=3 लेने पर, हमें 3x² - 3√(2)x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (iii) के लिए, शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √(5) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 0x + √(5)) मिलता है, जो P(x) = k(x² + √(5)) के बराबर है। k=1 लेने पर, हमें x² + √(5) प्राप्त होता है।

भाग (iii) के लिए, शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √(5) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 0x + √(5)) मिलता है, जो P(x) = k(x² + √(5)) के बराबर है। k=1 लेने पर, हमें x² + √(5) प्राप्त होता है।

भाग (iv) के लिए, शून्यकों का योग 1 और गुणनफल 1 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 1x + 1) मिलता है, जो P(x) = k(x² - x + 1) के बराबर है। k=1 लेने पर, हमें x² - x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (iv) के लिए, शून्यकों का योग 1 और गुणनफल 1 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 1x + 1) मिलता है, जो P(x) = k(x² - x + 1) के बराबर है। k=1 लेने पर, हमें x² - x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (v) के लिए, शून्यकों का योग -(1)/(4) और गुणनफल (1)/(4) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = kx² - -(1)/(4)x + (1)/(4) मिलता है, जो P(x) = kx² + (1)/(4)x + (1)/(4) के बराबर है। k=4 लेने पर, हमें 4x² + x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (v) के लिए, शून्यकों का योग -(1)/(4) और गुणनफल (1)/(4) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = kx² - -(1)/(4)x + (1)/(4) मिलता है, जो P(x) = kx² + (1)/(4)x + (1)/(4) के बराबर है। k=4 लेने पर, हमें 4x² + x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (vi) के लिए, शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 4x + 1) मिलता है। k=1 लेने पर, हमें x² - 4x + 1 प्राप्त होता है।

भाग (vi) के लिए, शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = k(x² - 4x + 1) मिलता है। k=1 लेने पर, हमें x² - 4x + 1 प्राप्त होता है।

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं: (i) $\frac{1}{4}, -1$ (ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$ (iii) $0, \sqrt{5}$ (iv) $1, 1$ (v) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ (vi) $4, 1$

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Step-by-Step Solution

Step 1: द्विघात बहुपद का सामान्य रूप

एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $P(x) = k(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)$ होता है, जहाँ $k$ कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या है। यहाँ, $(\alpha + \beta)$ शून्यकों का योग है और $\alpha\beta$ शून्यकों का गुणनफल है।

Step 2: भाग (i) के लिए बहुपद ज्ञात करें

दिए गए शून्यकों का योग $\frac{1}{4}$ और गुणनफल $-1$ है। इन मानों को सामान्य द्विघात बहुपद के रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k\left(x^2 - \frac{1}{4}x - 1\right)$ मिलता है। $k=4$ लेने पर, हमें $4x^2 - x - 4$ प्राप्त होता है।

Step 3: भाग (ii) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (ii) के लिए, शून्यकों का योग $\sqrt{2}$ और गुणनफल $\frac{1}{3}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k\left(x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}\right)$ मिलता है। $k=3$ लेने पर, हमें $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ प्राप्त होता है।

Step 4: भाग (iii) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (iii) के लिए, शून्यकों का योग $0$ और गुणनफल $\sqrt{5}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k(x^2 - 0x + \sqrt{5})$ मिलता है, जो $P(x) = k(x^2 + \sqrt{5})$ के बराबर है। $k=1$ लेने पर, हमें $x^2 + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

Step 5: भाग (iv) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (iv) के लिए, शून्यकों का योग $1$ और गुणनफल $1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k(x^2 - 1x + 1)$ मिलता है, जो $P(x) = k(x^2 - x + 1)$ के बराबर है। $k=1$ लेने पर, हमें $x^2 - x + 1$ प्राप्त होता है।

Step 6: भाग (v) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (v) के लिए, शून्यकों का योग $-\frac{1}{4}$ और गुणनफल $\frac{1}{4}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k\left(x^2 - \left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4}\right)$ मिलता है, जो $P(x) = k\left(x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\right)$ के बराबर है। $k=4$ लेने पर, हमें $4x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।

Step 7: भाग (vi) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (vi) के लिए, शून्यकों का योग $4$ और गुणनफल $1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(x) = k(x^2 - 4x + 1)$ मिलता है। $k=1$ लेने पर, हमें $x^2 - 4x + 1$ प्राप्त होता है।