एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं: (i) $\frac{1}{4}, -1$ (ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$ (iii) $0, \sqrt{5}$ (iv) $1, 1$ (v) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ (vi) $4, 1$

चरण 1: द्विघात बहुपद का सामान्य रूप

एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $$P(x) = k(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)$$ होता है, जहाँ $$k$$ कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या है। यहाँ, $$(\alpha + \beta)$$ शून्यकों का योग है और $$\alpha\beta$$ शून्यकों का गुणनफल है।

चरण 2: भाग (i) के लिए बहुपद ज्ञात करें

दिए गए शून्यकों का योग $$\frac{1}{4}$$ और गुणनफल $$-1$$ है। इन मानों को सामान्य द्विघात बहुपद के रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k\left(x^2 - \frac{1}{4}x - 1\right)$$ मिलता है। $$k=4$$ लेने पर, हमें $$4x^2 - x - 4$$ प्राप्त होता है।

चरण 3: भाग (ii) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (ii) के लिए, शून्यकों का योग $$\sqrt{2}$$ और गुणनफल $$\frac{1}{3}$$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k\left(x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}\right)$$ मिलता है। $$k=3$$ लेने पर, हमें $$3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$$ प्राप्त होता है।

चरण 4: भाग (iii) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (iii) के लिए, शून्यकों का योग $$0$$ और गुणनफल $$\sqrt{5}$$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k(x^2 - 0x + \sqrt{5})$$ मिलता है, जो $$P(x) = k(x^2 + \sqrt{5})$$ के बराबर है। $$k=1$$ लेने पर, हमें $$x^2 + \sqrt{5}$$ प्राप्त होता है।

चरण 5: भाग (iv) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (iv) के लिए, शून्यकों का योग $$1$$ और गुणनफल $$1$$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k(x^2 - 1x + 1)$$ मिलता है, जो $$P(x) = k(x^2 - x + 1)$$ के बराबर है। $$k=1$$ लेने पर, हमें $$x^2 - x + 1$$ प्राप्त होता है।

चरण 6: भाग (v) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (v) के लिए, शून्यकों का योग $$-\frac{1}{4}$$ और गुणनफल $$\frac{1}{4}$$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k\left(x^2 - \left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4}\right)$$ मिलता है, जो $$P(x) = k\left(x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\right)$$ के बराबर है। $$k=4$$ लेने पर, हमें $$4x^2 + x + 1$$ प्राप्त होता है।

चरण 7: भाग (vi) के लिए बहुपद ज्ञात करें

भाग (vi) के लिए, शून्यकों का योग $$4$$ और गुणनफल $$1$$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$P(x) = k(x^2 - 4x + 1)$$ मिलता है। $$k=1$$ लेने पर, हमें $$x^2 - 4x + 1$$ प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में P(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए: (i) P(x) = x³ - 3x² + 5x - 3, g(x) = x² - 2 (ii) P(x) = x^4

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