स्मोकिंग से फेफड़ों की परेशानियों का खतरा बढ़ जाता है । Your Lungs / Smoke LUNG CANCER STOP SMOKING Secondhand Smoke Cough Coughing up blood Hoarseness Wheezing Weight loss (no reason) Difficult to Sputum X-Ray Bronchoscopy Swallow Cytology Screening एक अध्ययन से पता चला कि स्मोकिंग करने वाले 1000 पुरुषों में से 170 और स्मोकिंग करने वाली 1000 महिलाओं में से 120 को फेफड़ों से जुड़ी समस्याएँ होती हैं । एक कॉलोनी में 50 व्यक्ति स्मोकिंग करने वाले पाए गए जिनमें 30 पुरुष हैं । इन 50 व्यक्तियों में से यादृच्छया एक चुना गया जिसका फेफड़ों संबंधी बीमारी का टेस्ट करवाया गया । उपरोक्त के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए : (i) क्या प्रायिकता है कि चुना हुआ व्यक्ति एक महिला हो ? (ii) यदि एक पुरुष चुना गया है तो क्या प्रायिकता है कि उसे फेफड़ों की समस्या नहीं है ? (iii) (a) यदि यादृच्छया चुने गए व्यक्ति में फेफड़ों की बीमारी पाई गई, तो उस व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए । अथवा (iii) (b) यादृच्छया चुने गए व्यक्ति में फेफड़ों की समस्या नहीं पाई गई है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह एक पुरुष है । (probability, conditional probability, sample space, event)
Answer: (i) चुने गए व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता है। (ii) यदि एक पुरुष चुना गया है तो उसे फेफड़ों की समस्या न होने की प्रायिकता है। (iii) (a) यदि यादृच्छया चुने गए व्यक्ति में फेफड़ों की बीमारी पाई गई, तो उस व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता है। (iii) (b) यदि यादृच्छया चुने गए व्यक्ति में फेफड़ों की समस्या नहीं पाई गई है, तो प्रायिकता (लगभग) है कि वह एक पुरुष है।
Step-by-step solution
Step 1: दी गई जानकारी को सूचीबद्ध करना
हम पहले समस्या में दी गई जानकारी को सूचीबद्ध करते हैं। कॉलोनी में कुल 50 स्मोकिंग करने वाले व्यक्ति हैं, जिनमें से 30 पुरुष हैं। इसलिए, महिलाओं की संख्या 50 में से 30 घटाकर प्राप्त की जा सकती है।
Step 2: फेफड़ों की समस्या से पीड़ित स्मोकिंग करने वाले पुरुषों का प्रतिशत
अध्ययन के अनुसार, 1000 स्मोकिंग करने वाले पुरुषों में से 170 को फेफड़ों की समस्या होती है। इससे हमें स्मोकिंग करने वाले पुरुष को फेफड़ों की समस्या होने की सशर्त प्रायिकता मिलती है।
Step 3: फेफड़ों की समस्या से पीड़ित स्मोकिंग करने वाली महिलाओं का प्रतिशत
इसी तरह, 1000 स्मोकिंग करने वाली महिलाओं में से 120 को फेफड़ों की समस्या होती है। इससे हम स्मोकिंग करने वाली महिला को फेफड़ों की समस्या होने की सशर्त प्रायिकता की गणना करते हैं।
Step 4: भाग (i) हल करना: चुने गए व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता
कुल 50 स्मोकिंग करने वाले व्यक्तियों में से 20 महिलाएं हैं। हम महिलाओं की संख्या को कुल व्यक्तियों की संख्या से विभाजित करके यह प्रायिकता ज्ञात करते हैं।
Step 5: भाग (ii) हल करना: पुरुष को फेफड़ों की समस्या न होने की प्रायिकता
एक पुरुष को फेफड़ों की समस्या न होने की प्रायिकता 1 में से एक पुरुष को फेफड़ों की समस्या होने की प्रायिकता को घटाकर प्राप्त की जा सकती है।
Step 6: भाग (iii) (a) हल करना: फेफड़ों की बीमारी वाले व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता
बेयस प्रमेय का उपयोग करके, हमें पहले एक ऐसी महिला के फेफड़ों की समस्या होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी। यह एक महिला को फेफड़ों की समस्या होने की सशर्त प्रायिकता और एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता का गुणनफल है।
Step 7: भाग (iii) (a) हल करना: फेफड़ों की बीमारी वाले पुरुष की प्रायिकता
इसी तरह, हम फेफड़ों की समस्या वाले पुरुष की प्रायिकता ज्ञात करते हैं। यह एक पुरुष को फेफड़ों की समस्या होने की सशर्त प्रायिकता और एक पुरुष के चुने जाने की प्रायिकता का गुणनफल है।
Step 8: भाग (iii) (a) हल करना: फेफड़ों की समस्या होने की कुल प्रायिकता
फेफड़ों की समस्या होने की कुल प्रायिकता, फेफड़ों की समस्या वाली महिला होने की प्रायिकता और फेफड़ों की समस्या वाले पुरुष होने की प्रायिकता का योग है।
Step 9: भाग (iii) (a) हल करना: अंतिम चरण
अंत में, हम बेयस प्रमेय का उपयोग करके गणना करते हैं कि यदि चुने गए व्यक्ति को फेफड़ों की समस्या है तो उसके महिला होने की क्या प्रायिकता है। यह फेफड़ों की समस्या वाली महिला होने की प्रायिकता को फेफड़ों की समस्या होने की कुल प्रायिकता से विभाजित करके किया जाता है।
Step 10: भाग (iii) (b) हल करना: फेफड़ों की समस्या न होने वाली महिला की प्रायिकता
हम पहले एक महिला को फेफड़ों की समस्या न होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात करते हैं। फिर, हम फेफड़ों की समस्या न होने वाली महिला की प्रायिकता ज्ञात करते हैं।
Step 11: भाग (iii) (b) हल करना: फेफड़ों की समस्या न होने वाले पुरुष की प्रायिकता
हम फेफड़ों की समस्या न होने वाले पुरुष की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए इसी तरीके का पालन करते हैं, जो एक पुरुष को फेफड़ों की समस्या न होने की सशर्त प्रायिकता और एक पुरुष के चुने जाने की प्रायिकता का गुणनफल है।
Step 12: भाग (iii) (b) हल करना: फेफड़ों की समस्या न होने की कुल प्रायिकता
फेफड़ों की समस्या न होने की कुल प्रायिकता महिलाओं और पुरुषों दोनों के लिए संबंधित व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है।
Step 13: भाग (iii) (b) हल करना: अंतिम चरण
अंत में, हम बेयस प्रमेय का उपयोग करके गणना करते हैं कि यदि चुने गए व्यक्ति को फेफड़ों की समस्या नहीं है तो उसके पुरुष होने की क्या प्रायिकता है। यह फेफड़ों की समस्या न होने वाले पुरुष की प्रायिकता को फेफड़ों की समस्या न होने की कुल प्रायिकता से विभाजित करके किया जाता है।
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