निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों? (ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।

चरण 1: प्रारंभिक मात्रा निर्धारित करें

मान लीजिए कि बेलन में हवा की प्रारंभिक मात्रा $$V$$ है। यह हमारी सूची का पहला पद होगा।

चरण 2: पहले स्ट्रोक के बाद हवा की मात्रा ज्ञात करें

पहले स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा का $$\frac{1}{4}$$ भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा $$V - \frac{1}{4}V = \frac{3}{4}V$$ हो जाती है।

चरण 3: दूसरे स्ट्रोक के बाद हवा की मात्रा ज्ञात करें

दूसरे स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा $$\left(\frac{3}{4}V\right)$$ का $$\frac{1}{4}$$ भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा $$\frac{3}{4}V - \frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}V\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2V$$ हो जाती है।

चरण 4: संबद्ध संख्याओं की सूची लिखें

इस प्रकार, प्रत्येक स्ट्रोक के बाद बेलन में हवा की मात्रा की सूची $$V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2V, \left(\frac{3}{4}\right)^3V, \dots$$ है।

चरण 5: सार्व अंतर की जाँच करें

सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए, हम क्रमागत पदों के बीच के अंतर की गणना करते हैं। यहाँ, $$a_2 - a_1 = -\frac{1}{4}V$$ और $$a_3 - a_2 = -\frac{3}{16}V$$ है।

चरण 6: निष्कर्ष

चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है (अर्थात, $$a_2 - a_1 \neq a_3 - a_2$$ ), इसलिए यह सूची एक समांतर श्रेणी (A.P.) नहीं है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए: (ii) A.P.: -3, -(1)/(2), 2,..., का 11वाँ पद है: (A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48(1)/(2)
• निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए। (x) a, 2a, 3a, 4a,

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