निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत $Z = 4x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: $$x + y \le 50 \ 3x + y \le 90 \ x \ge 0, y \ge 0$$

चरण 1: व्यवरोधों को असमिकाओं के रूप में लिखें

दिए गए व्यवरोधों को असमिकाओं के रूप में लिखा गया है। ये असमिकाएँ एक सुसंगत क्षेत्र को परिभाषित करती हैं जिसके शीर्षों पर उद्देश्य फलन $$Z = 4x + y$$ का अधिकतम मान ज्ञात किया जाएगा।

चरण 2: सुसंगत क्षेत्र के शीर्षों का निर्धारण करें

सुसंगत क्षेत्र के शीर्षों को ज्ञात करने के लिए, हम असमिकाओं को समीकरणों में बदलकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। 1. $$x=0, y=0$$ से $$(0{,}0)$$ मिलता है। 2. $$y=0$$ और $$3x+y=90$$ से $$3x=90 \implies x=30$$ मिलता है, इसलिए $$(30{,}0)$$ । 3. $$x+y=50$$ और $$3x+y=90$$ को हल करने पर: $$(3x+y) - (x+y) = 90 - 50 \implies 2x = 40 \implies x = 20$$ $$20+y=50 \implies y=30$$ इसलिए $$(20{,}30)$$ मिलता है। 4. $$x=0$$ और $$x+y=50$$ से $$y=50$$ मिलता है, इसलिए $$(0{,}50)$$ ।

चरण 3: उद्देश्य फलन का मान ज्ञात करें

अब हम प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन $$Z = 4x + y$$ का मान ज्ञात करेंगे। - बिंदु $$(0, 0)$$ पर, $$Z = 4(0) + 0 = 0$$ - बिंदु $$(30, 0)$$ पर, $$Z = 4(30) + 0 = 120$$ - बिंदु $$(20, 30)$$ पर, $$Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$$ - बिंदु $$(0, 50)$$ पर, $$Z = 4(0) + 50 = 50$$

चरण 4: अधिकतम मान निर्धारित करें

उद्देश्य फलन $$Z$$ के मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि अधिकतम मान $$120$$ है, जो बिंदु $$(30, 0)$$ पर प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z=5x+3y का अधिकतमीकरण कीजिए: 3x+5y 15, 5x+2y 10, x 0, y 0
• निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z=x+y का अधिकतमीकरण कीजिए: x-y≤-1, -x+y 0, x,y 0

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