निम्न अवरोधों के अंतर्गत $Z=5x+3y$ का अधिकतमीकरण कीजिए: $3x+5y\le15, 5x+2y\le10, x\ge0, y\ge0$

चरण 1: अवरोधों को समीकरणों में बदलें

दिए गए अवरोध असमानताएँ हैं। इन असमानताओं को समीकरणों में बदलकर हम रेखाएँ प्राप्त कर सकते हैं। ये रेखाएँ सुसंगत क्षेत्र की सीमाएँ निर्धारित करेंगी।

चरण 2: शीर्ष बिंदुओं का निर्धारण करें

प्रत्येक रेखा के लिए, हम $$x$$ और $$y$$ अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। ये बिंदु हमें रेखाएँ खींचने में मदद करेंगे। उदाहरण के लिए, समीकरण $$3x+5y=15$$ में, यदि $$x=0$$ , तो $$5y=15 \implies y=3$$ , जिससे बिंदु $$(0{,}3)$$ मिलता है। यदि $$y=0$$ , तो $$3x=15 \implies x=5$$ , जिससे बिंदु $$(5{,}0)$$ मिलता है।

चरण 3: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें

सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं को खोजने के लिए, हमें उन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा जो इसकी सीमाएँ बनाती हैं। हम समीकरणों (1) और (2) को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।

चरण 4: शीर्ष बिंदुओं की सूची

सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु वे बिंदु हैं जहाँ अवरोध रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं या अक्षों को काटती हैं। ये बिंदु हैं $$(0{,}0)$$ , $$x$$ -अक्ष पर रेखा $$5x+2y=10$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$(2{,}0)$$ , रेखा $$3x+5y=15$$ और $$5x+2y=10$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$$ , और $$y$$ -अक्ष पर रेखा $$3x+5y=15$$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $$(0{,}3)$$ ।

चरण 5: उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें

अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम उद्देश्य फलन $$Z=5x+3y$$ का मूल्यांकन सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर करते हैं।

चरण 6: अधिकतम मान ज्ञात करें

सभी शीर्ष बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मानों की तुलना करने पर, हमें अधिकतम मान $$\frac{235}{19}$$ मिलता है, जो बिंदु $$\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$$ पर प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z=x+y का अधिकतमीकरण कीजिए: x-y≤-1, -x+y 0, x,y 0
• निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: x + y ≤ 50 3x + y ≤ 90 x ≥ 0, y ≥ 0

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