निम्न अवरोधों के अंतर्गत $Z=x+y$ का अधिकतमीकरण कीजिए: $x-y\le-1, -x+y\le0, x,y\ge0$

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवरोधों को समीकरणों में परिवर्तित करना

अधिकतमीकरण समस्या को हल करने के लिए, हम पहले दिए गए अवरोधों को समीकरणों में परिवर्तित करते हैं। ये समीकरण हमें व्यवहार्य क्षेत्र की सीमाएँ निर्धारित करने में मदद करेंगे।

Step 2: प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करना

अब, हम प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो बिंदु ज्ञात करते हैं ताकि हम उन्हें ग्राफ पर प्लॉट कर सकें। रेखा $x-y=-1$ के लिए, जब $x=0$ , $y=1$ होता है, और जब $y=0$ , $x=-1$ होता है। रेखा $-x+y=0$ के लिए, जो $y=x$ के बराबर है, जब $x=0$ , $y=0$ होता है, और जब $x=1$ , $y=1$ होता है।

Step 3: व्यवहार्य क्षेत्र का निर्धारण

हम मूल बिंदु $(0{,}0)$ का उपयोग करके असमानताओं के व्यवहार्य क्षेत्र का परीक्षण करते हैं। पहले अवरोध $x-y \le -1$ के लिए, $0-0 \le -1$ का अर्थ है $0 \le -1$ , जो असत्य है। इसलिए, व्यवहार्य क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है। दूसरे अवरोध $-x+y \le 0$ के लिए, $0-0 \le 0$ का अर्थ है $0 \le 0$ , जो सत्य है। इसलिए, व्यवहार्य क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है। $x \ge 0$ और $y \ge 0$ का अर्थ है कि व्यवहार्य क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।

Step 4: व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान

जब हम इन रेखाओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और असमानताओं के अनुसार क्षेत्रों को छायांकित करते हैं, तो हम पाते हैं कि सभी अवरोधों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र असीमित है। यह क्षेत्र $x-y=-1$ के ऊपर और $y=x$ के नीचे, साथ ही प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

Step 5: अधिकतम मान का निर्धारण

चूंकि व्यवहार्य क्षेत्र असीमित है और उद्देश्य फलन $Z = x+y$ है, हम देख सकते हैं कि जैसे-जैसे $x$ और $y$ के मान बढ़ते हैं, $Z$ का मान भी बढ़ता जाता है। इस असीमित क्षेत्र में $Z$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।