यदि $3 \cot A = 4$, तो जाँच कीजिए कि $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A$ है या नहीं।

चरण 1: त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें

दिए गए समीकरण $$3 \cot A = 4$$ से, हम $$\cot A$$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। चूंकि $$\tan A$$ और $$\cot A$$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं, इसलिए हम $$\tan A$$ का मान भी ज्ञात कर सकते हैं।

चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाएँ ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज $$ABC$$ में, जहाँ $$\angle B = 90^\circ$$ , यदि $$\cot A = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$$ है, तो हम $$AB = 4k$$ और $$BC = 3k$$ मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण $$AC$$ का मान $$5k$$ होगा। सरलता के लिए, हम $$k=1$$ मान सकते हैं।

चरण 3: अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें

अब जब हमारे पास त्रिभुज की सभी भुजाएँ हैं, तो हम $$\sin A$$ और $$\cos A$$ के मान ज्ञात कर सकते हैं।

चरण 4: बाएँ पक्ष (LHS) का मूल्यांकन करें

दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष का मूल्यांकन करने के लिए, हम $$\tan A$$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

चरण 5: दाएँ पक्ष (RHS) का मूल्यांकन करें

अब, हम दिए गए समीकरण के दाएँ पक्ष का मूल्यांकन करने के लिए $$\sin A$$ और $$\cos A$$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 6: निष्कर्ष

चूंकि बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) दोनों का मान $$\frac{7}{25}$$ है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दिया गया समीकरण सत्य है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए: (i) (2 tan 30^(°))/(1+tan ² 30^(°))= (A) sin 60^(°) (B) cos 60^(°) (C) tan 60^(°) (D) sin 30^(°) (ii) (1-tan ²
• त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
• यदि sin(A+B) = 1 और cos(A-B) = sqrt(3)/2, जहाँ 0 < A+B <= 90, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

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