सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए: (i) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=$ (A) $\sin 60^{\circ}$ (B) $\cos 60^{\circ}$ (C) $\tan 60^{\circ}$ (D) $\sin 30^{\circ}$ (ii) $\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=$ (A) $\tan 90^{\circ}$ (B) 1 (C) $\sin 45^{\circ}$ (D) 0 (iii) $\sin 2 A=2 \sin A$ तब सत्य होता है, जबकि $A$ बराबर है: (A) $0^{\circ}$ (B) $30^{\circ}$ (C) $45^{\circ}$ (D) $60^{\circ}$ (iv) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$ बराबर है: (A) $\cos 60^{\circ}$ (B) $\sin 60^{\circ}$ (C) $\tan 60^{\circ}$ (D) $\sin 30^{\circ}$

चरण 1: भाग (i) का हल

हम जानते हैं कि $$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ होता है। इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

चरण 2: भाग (i) का सरलीकरण

व्यंजक को सरल करें। हर में $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{1}{3}$$ हो जाता है। फिर भिन्नों को जोड़ें और भाग दें। अंत में, हर का परिमेयकरण करें।

चरण 3: भाग (i) के लिए सही विकल्प की पहचान

हम जानते हैं कि $$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ होता है। इसलिए, दिया गया व्यंजक $$\sin 60^{\circ}$$ के बराबर है।

चरण 4: भाग (ii) का हल

हम जानते हैं कि $$\tan 45^{\circ} = 1$$ होता है। इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

चरण 5: भाग (ii) का सरलीकरण

व्यंजक को सरल करें। अंश $$1-1=0$$ हो जाता है और हर $$1+1=2$$ हो जाता है।

चरण 6: भाग (ii) के लिए सही विकल्प की पहचान

व्यंजक का मान $$0$$ है। इसलिए, विकल्प (D) सही है।

चरण 7: भाग (iii) का हल

हम जानते हैं कि $$\sin 2A$$ का सूत्र $$2 \sin A \cos A$$ होता है। दिए गए समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करें।

चरण 8: भाग (iii) के लिए $$A$$ का मान ज्ञात करना

समीकरण को $$2 \sin A (\cos A - 1) = 0$$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें। इसका अर्थ है कि या तो $$2 \sin A = 0$$ या $$\cos A - 1 = 0$$ ।

चरण 9: भाग (iii) के लिए $$A$$ का मान ज्ञात करना (जारी)

यदि $$\sin A = 0$$ , तो $$A = 0^{\circ}$$ । यदि $$\cos A = 1$$ , तो $$A = 0^{\circ}$$ । दोनों ही स्थितियों में, $$A = 0^{\circ}$$ ।

चरण 10: भाग (iv) का हल

हम जानते हैं कि $$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ होता है। इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

चरण 11: भाग (iv) का सरलीकरण

व्यंजक को सरल करें। हर में $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{1}{3}$$ हो जाता है। फिर भिन्नों को घटाएं और भाग दें। अंत में, हर का परिमेयकरण करें।

चरण 12: भाग (iv) के लिए सही विकल्प की पहचान

हम जानते हैं कि $$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$$ होता है। इसलिए, दिया गया व्यंजक $$\tan 60^{\circ}$$ के बराबर है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
• यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि (1 - tan² A)/(1 + tan² A) = cos² A - sin² A है या नहीं।
• यदि sin(A+B) = 1 और cos(A-B) = sqrt(3)/2, जहाँ 0 < A+B <= 90, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

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