एक रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिए गए कार्तीय समीकरण को पहचानें

हमें एक रेखा का कार्तीय समीकरण दिया गया है। हम इसे रेखा के कार्तीय समीकरण के मानक रूप से तुलना करेंगे, जो कि $$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$ है।

चरण 2: दिए गए समीकरण से बिंदु और दिशा सदिश ज्ञात करें

दिए गए समीकरण $$\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2}$$ की मानक रूप से तुलना करने पर, हमें पता चलता है कि रेखा बिंदु $$(5, -4, 6)$$ से होकर गुजरती है और इसके दिशा अनुपात $$3, 7, 2$$ हैं।

चरण 3: स्थिति सदिश और दिशा सदिश लिखें

बिंदु $$(5, -4, 6)$$ का स्थिति सदिश $$\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$$ है। दिशा अनुपात $$3, 7, 2$$ के साथ दिशा सदिश $$\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}$$ है।

चरण 4: रेखा का सदिश समीकरण लिखें

एक बिंदु से गुजरने वाली और एक दिए गए सदिश के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $$\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $$\vec{a}$$ रेखा पर एक बिंदु का स्थिति सदिश है और $$\vec{b}$$ रेखा के समानांतर दिशा सदिश है। $$\lambda$$ एक अदिश पैरामीटर है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: r = ( i + 2 j +3 k) + ( i-3 j +2 k) और r = 4 i +5 j +6 k + (2 i + 3 j + k)
• निम्नलिखित दी गई रेखाओं l_1 और l_2: r = i + 2 j - 4 k + (2 i + 3 j + 6 k) और r = 3 i + 3 j - 5 k + (2 i + 3 j + 6 k) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
• दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ ± ((1)/(√3), (1)/(√3), (1)/(√3)) हैं।

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