बिंदु (5, -4, 6) का स्थिति सदिश {a} = 5 {i} - 4 {j} + 6 {k} है। दिशा अनुपात 3, 7, 2 के साथ दिशा सदिश {b} = 3 {i} + 7 {j} + 2 {k} है।

बिंदु (5, -4, 6) का स्थिति सदिश {a} = 5 {i} - 4 {j} + 6 {k} है। दिशा अनुपात 3, 7, 2 के साथ दिशा सदिश {b} = 3 {i} + 7 {j} + 2 {k} है।

एक बिंदु से गुजरने वाली और एक दिए गए सदिश के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण {r} = {a} + {b} द्वारा दिया जाता है, जहाँ {a} रेखा पर एक बिंदु का स्थिति सदिश है और {b} रेखा के समानांतर दिशा सदिश है। एक अदिश पैरामीटर है।

एक बिंदु से गुजरने वाली और एक दिए गए सदिश के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण {r} = {a} + {b} द्वारा दिया जाता है, जहाँ {a} रेखा पर एक बिंदु का स्थिति सदिश है और {b} रेखा के समानांतर दिशा सदिश है। एक अदिश पैरामीटर है।

एक रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए कार्तीय समीकरण को पहचानें

हमें एक रेखा का कार्तीय समीकरण दिया गया है। हम इसे रेखा के कार्तीय समीकरण के मानक रूप से तुलना करेंगे, जो कि $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ है।

Step 2: दिए गए समीकरण से बिंदु और दिशा सदिश ज्ञात करें

दिए गए समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2}$ की मानक रूप से तुलना करने पर, हमें पता चलता है कि रेखा बिंदु $(5, -4, 6)$ से होकर गुजरती है और इसके दिशा अनुपात $3, 7, 2$ हैं।

Step 3: स्थिति सदिश और दिशा सदिश लिखें

बिंदु $(5, -4, 6)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है। दिशा अनुपात $3, 7, 2$ के साथ दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}$ है।

Step 4: रेखा का सदिश समीकरण लिखें

एक बिंदु से गुजरने वाली और एक दिए गए सदिश के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{a}$ रेखा पर एक बिंदु का स्थिति सदिश है और $\vec{b}$ रेखा के समानांतर दिशा सदिश है। $\lambda$ एक अदिश पैरामीटर है।