निम्नलिखित दी गई रेखाओं $l_1$ और $l_2$: $r = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} + \lambda (2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ और $r = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिए गए समीकरणों की पहचान करें

दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $$\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$$ से तुलना करके, हम $$\vec{a}_{1}$$ , $$\vec{a}_{2}$$ और $$\vec{b}$$ के मानों की पहचान करते हैं। यहाँ, दोनों रेखाएँ एक ही दिशा सदिश $$\vec{b}$$ के समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

चरण 2: सदिशों के मान निकालें

दिए गए रेखा समीकरणों से, हम स्थिति सदिश $$\vec{a}_{1}$$ और $$\vec{a}_{2}$$ और दिशा सदिश $$\vec{b}$$ को निकालते हैं।

चरण 3: समांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र लागू करें

चूंकि रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि उनके दिशा सदिश समान हैं), उनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए हम इस विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं।

चरण 4: $$(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$$ की गणना करें

अब हम सदिश $$\vec{a}_{2}$$ से सदिश $$\vec{a}_{1}$$ को घटाते हैं ताकि $$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$$ प्राप्त हो सके, जो दूरी सूत्र का एक घटक है।

चरण 5: $$(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \times \vec{b}$$ की गणना करें

हम सदिश $$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$$ और $$\vec{b}$$ का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। यह एक सारणिक का उपयोग करके किया जाता है।

चरण 6: $$|\vec{b}|$$ की गणना करें

अब हम दिशा सदिश $$\vec{b}$$ का परिमाण ज्ञात करते हैं, जो दूरी सूत्र का हर है।

चरण 7: न्यूनतम दूरी की गणना करें

अंत में, हम क्रॉस उत्पाद के परिमाण को $$\vec{b}$$ के परिमाण से विभाजित करके न्यूनतम दूरी ज्ञात करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: r = ( i + 2 j +3 k) + ( i-3 j +2 k) और r = 4 i +5 j +6 k + (2 i + 3 j + k)
• एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x-5)/(3) = (y+4)/(7) = (z-6)/(2) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
• दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ ± ((1)/(√3), (1)/(√3), (1)/(√3)) हैं।

पूरा अध्याय देखें →