रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} +3\hat{k}) + \lambda (\hat{i}-3\hat{j} +2\hat{k})$ और $\vec{r} = 4\hat{i} +5\hat{j} +6\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$

चरण 1: दिए गए समीकरणों की तुलना करना

दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों की तुलना मानक रूप $$\vec{r} = \vec{a}_{1} + \lambda \vec{b}_{1}$$ और $$\vec{r} = \vec{a}_{2} + \mu \vec{b}_{2}$$ से करने पर, हमें $$\vec{a}_{1}$$ , $$\vec{b}_{1}$$ , $$\vec{a}_{2}$$ और $$\vec{b}_{2}$$ के मान प्राप्त होते हैं।

चरण 2: सदिशों के मान ज्ञात करना

पहले चरण में की गई तुलना के आधार पर, हमने प्रत्येक सदिश के घटकों को पहचाना है। ये सदिश रेखाओं की स्थिति और दिशा को दर्शाते हैं।

चरण 3: $$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$$ और $$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$$ की गणना करना

न्यूनतम दूरी के सूत्र के लिए हमें $$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$$ और $$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$$ की गणना करनी होगी। $$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$$ दो रेखाओं के बीच के स्थिति सदिश का अंतर है, और $$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत एक सदिश देता है।

चरण 4: $$|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|$$ की गणना करना

हमें सदिश गुणनफल $$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$$ के परिमाण की आवश्यकता है। यह परिमाण दो दिशा सदिशों द्वारा बनाए गए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है।

चरण 5: न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करना

दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र यह है। यह सूत्र दो रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को दर्शाता है, जो दोनों रेखाओं के लंबवत होती है।

चरण 6: मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

अब हम पहले से गणना किए गए मानों को न्यूनतम दूरी के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। अदिश गुणनफल की गणना करने के बाद, हम इसे सदिश गुणनफल के परिमाण से विभाजित करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित दी गई रेखाओं l_1 और l_2: r = i + 2 j - 4 k + (2 i + 3 j + 6 k) और r = 3 i + 3 j - 5 k + (2 i + 3 j + 6 k) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
• एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x-5)/(3) = (y+4)/(7) = (z-6)/(2) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
• दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ ± ((1)/(√3), (1)/(√3), (1)/(√3)) हैं।

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