दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ $\pm \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ हैं।

चरण 1: दिक्-कोसाइन की परिभाषा

मान लीजिए कि एक सदिश OX, OY और $$OZ$$ अक्षों के साथ क्रमशः $$\alpha, \beta$$ और $$\gamma$$ कोण बनाता है। तब सदिश के दिक्-कोसाइन $$l = \cos \alpha, m = \cos \beta$$ और $$n = \cos \gamma$$ द्वारा दिए जाते हैं।

चरण 2: बराबर झुकाव की स्थिति

प्रश्न में दिया गया है कि सदिश OX, OY और $$OZ$$ अक्षों के साथ बराबर झुका हुआ है। इसका अर्थ है कि सदिश द्वारा तीनों अक्षों के साथ बनाए गए कोण समान हैं।

चरण 3: दिक्-कोसाइन के बीच संबंध

हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा 1 के बराबर होता है। यह दिक्-कोसाइन का एक मौलिक गुण है।

चरण 4: दिक्-कोसाइन का मान ज्ञात करना

चूंकि $$\alpha = \beta = \gamma$$ , हम $$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$ में $$l=m=n=\cos \alpha$$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें $$\cos \alpha$$ का मान प्राप्त होता है।

चरण 5: दिक्-कोसाइन कोज्याएँ

चूंकि $$l = m = n = \cos \alpha$$ , इसलिए सदिश के दिक्-कोसाइन $$\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ होंगे।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: r = ( i + 2 j +3 k) + ( i-3 j +2 k) और r = 4 i +5 j +6 k + (2 i + 3 j + k)
• निम्नलिखित दी गई रेखाओं l_1 और l_2: r = i + 2 j - 4 k + (2 i + 3 j + 6 k) और r = 3 i + 3 j - 5 k + (2 i + 3 j + 6 k) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
• एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x-5)/(3) = (y+4)/(7) = (z-6)/(2) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

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