$k$ के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$ (a) $x$ -अक्ष के समांतर है। (b) $y$ -अक्ष के समांतर है। (c) मूल बिंदु से जाती है।

चरण 1: रेखा का मानक रूप

दी गई रेखा का समीकरण $$(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$$ है। हम इस समीकरण की तुलना रेखा के मानक रूप $$Ax + By + C = 0$$ से करते हैं।

चरण 2: $$x$$ -अक्ष के समांतर

यदि कोई रेखा $$x$$ -अक्ष के समांतर है, तो $$x$$ का गुणांक $$A$$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $$k - 3 = 0$$ को हल करते हैं।

चरण 3: $$x$$ -अक्ष के समांतर के लिए $$k$$ का मान ज्ञात करना

समीकरण $$k - 3 = 0$$ को हल करने पर, हमें $$k = 3$$ प्राप्त होता है। यह $$k$$ का मान है जिसके लिए रेखा $$x$$ -अक्ष के समांतर है।

चरण 4: $$y$$ -अक्ष के समांतर

यदि कोई रेखा $$y$$ -अक्ष के समांतर है, तो $$y$$ का गुणांक $$B$$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $$-(4 - k^2) = 0$$ को हल करते हैं।

चरण 5: $$y$$ -अक्ष के समांतर के लिए $$k$$ का मान ज्ञात करना

समीकरण $$-(4 - k^2) = 0$$ को सरल करने पर $$4 - k^2 = 0$$ मिलता है, जिसका अर्थ है $$k^2 = 4$$ । वर्गमूल लेने पर, हमें $$k = 2$$ या $$k = -2$$ प्राप्त होता है।

चरण 6: मूल बिंदु से गुजरना

यदि कोई रेखा मूल बिंदु $$(0, 0)$$ से गुजरती है, तो समीकरण में $$x=0$$ और $$y=0$$ रखने पर स्थिरांक पद $$C$$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $$k^2 - 7k + 6 = 0$$ को हल करते हैं।

चरण 7: मूल बिंदु से गुजरने के लिए $$k$$ का मान ज्ञात करना

द्विघात समीकरण $$k^2 - 7k + 6 = 0$$ को गुणनखंडित करने पर $$(k - 1)(k - 6) = 0$$ मिलता है। इसलिए, $$k = 1$$ या $$k = 6$$ ।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• यदि p मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लंबाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंत: खंड a और b हों, तो दिखाइए कि (1)/(p²)=(1)/(a²)+(1)/(b²)
• सिद्ध कीजिए कि बिंदु (x_1, y_1) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समांतर रेखा का समीकरण A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0 है।
• P(x_1, y_1) और Q(x_2, y_2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब: (i) PQ, y -अक्ष के समांतर है, (ii) PQ, x -अक्ष के समांतर है।

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