दी गई रेखा का समीकरण (k - 3)x - (4 - k²)y + k² - 7k + 6 = 0 है। हम इस समीकरण की तुलना रेखा के मानक रूप Ax + By + C = 0 से करते हैं।

दी गई रेखा का समीकरण (k - 3)x - (4 - k²)y + k² - 7k + 6 = 0 है। हम इस समीकरण की तुलना रेखा के मानक रूप Ax + By + C = 0 से करते हैं।

समीकरण -(4 - k²) = 0 को सरल करने पर 4 - k² = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है k² = 4 । वर्गमूल लेने पर, हमें k = 2 या k = -2 प्राप्त होता है।

समीकरण -(4 - k²) = 0 को सरल करने पर 4 - k² = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है k² = 4 । वर्गमूल लेने पर, हमें k = 2 या k = -2 प्राप्त होता है।

द्विघात समीकरण k² - 7k + 6 = 0 को गुणनखंडित करने पर (k - 1)(k - 6) = 0 मिलता है। इसलिए, k = 1 या k = 6 ।

$k$ के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$ (a) $x$ -अक्ष के समांतर है। (b) $y$ -अक्ष के समांतर है। (c) मूल बिंदु से जाती है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: रेखा का मानक रूप

दी गई रेखा का समीकरण $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$ है। हम इस समीकरण की तुलना रेखा के मानक रूप $Ax + By + C = 0$ से करते हैं।

Step 2: $x$ -अक्ष के समांतर

यदि कोई रेखा $x$ -अक्ष के समांतर है, तो $x$ का गुणांक $A$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $k - 3 = 0$ को हल करते हैं।

Step 3: $x$ -अक्ष के समांतर के लिए $k$ का मान ज्ञात करना

समीकरण $k - 3 = 0$ को हल करने पर, हमें $k = 3$ प्राप्त होता है। यह $k$ का मान है जिसके लिए रेखा $x$ -अक्ष के समांतर है।

Step 4: $y$ -अक्ष के समांतर

यदि कोई रेखा $y$ -अक्ष के समांतर है, तो $y$ का गुणांक $B$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $-(4 - k^2) = 0$ को हल करते हैं।

Step 5: $y$ -अक्ष के समांतर के लिए $k$ का मान ज्ञात करना

समीकरण $-(4 - k^2) = 0$ को सरल करने पर $4 - k^2 = 0$ मिलता है, जिसका अर्थ है $k^2 = 4$ । वर्गमूल लेने पर, हमें $k = 2$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।

Step 6: मूल बिंदु से गुजरना

यदि कोई रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है, तो समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर स्थिरांक पद $C$ शून्य होना चाहिए। इसलिए, हम $k^2 - 7k + 6 = 0$ को हल करते हैं।

Step 7: मूल बिंदु से गुजरने के लिए $k$ का मान ज्ञात करना

द्विघात समीकरण $k^2 - 7k + 6 = 0$ को गुणनखंडित करने पर $(k - 1)(k - 6) = 0$ मिलता है। इसलिए, $k = 1$ या $k = 6$ ।