यदि $p$ मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लंबाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंत: खंड $a$ और $b$ हों, तो दिखाइए कि $\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

चरण 1: रेखा का समीकरण ज्ञात करना

हम जानते हैं कि अक्षों पर $$a$$ और $$b$$ अंत: खंड काटने वाली रेखा का समीकरण $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$ होता है। इस समीकरण को मानक रूप $$Ax + By + C = 0$$ में बदलने के लिए, हम इसे $$bx + ay - ab = 0$$ के रूप में लिख सकते हैं।

चरण 2: मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई का सूत्र

एक बिंदु $$(x_1, y_1)$$ से रेखा $$Ax + By + C = 0$$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $$p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ होता है। यहाँ, मूल बिंदु $$(0, 0)$$ है, इसलिए $$x_1 = 0$$ और $$y_1 = 0$$ ।

चरण 3: सूत्र में मान प्रतिस्थापित करना

रेखा के समीकरण $$bx + ay - ab = 0$$ से, हमें $$A = b$$ , $$B = a$$ , और $$C = -ab$$ मिलता है। मूल बिंदु $$(0, 0)$$ के लिए $$x_1 = 0$$ और $$y_1 = 0$$ का उपयोग करके, हम लंब की लंबाई $$p$$ के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि $$a$$ और $$b$$ अंत: खंड हैं, वे धनात्मक होते हैं, इसलिए $$ab$$ भी धनात्मक होगा।

चरण 4: दोनों पक्षों का वर्ग करना

अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं ताकि वर्गमूल को हटाया जा सके और $$p^2$$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त किया जा सके।

चरण 5: व्युत्क्रम लेना और सरल करना

हम $$p^2$$ के व्युत्क्रम को लेते हैं और फिर दाहिने हाथ के पक्ष को अलग-अलग भिन्नों में विभाजित करते हैं। अंत में, हम भिन्नों को सरल करते हैं ताकि वांछित परिणाम प्राप्त हो सके।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• k के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k - 3)x - (4 - k²)y + k² - 7k + 6 = 0 (a) x -अक्ष के समांतर है। (b) y -अक्ष के समांतर है। (c) मूल बिंदु से जाती है।
• सिद्ध कीजिए कि बिंदु (x_1, y_1) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समांतर रेखा का समीकरण A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0 है।
• P(x_1, y_1) और Q(x_2, y_2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब: (i) PQ, y -अक्ष के समांतर है, (ii) PQ, x -अक्ष के समांतर है।

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