मान लीजिए $a_1, a_2, \dots, a_n$ अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन $f(x) = (x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_n)$ से परिभाषित है। $\lim_{x \to a_1} f(x)$ क्या है? किसी $a \ne a_1, a_2, \dots, a_n$ के लिए $\lim_{x \to a} f(x)$ का परिकलन कीजिए।

चरण 1: फलन को समझना

हमें एक फलन f(x) दिया गया है जो $$n$$ गुणनखंडों का गुणनफल है। प्रत्येक गुणनखंड $$(x-a_i)$$ के रूप में है, जहाँ $$a_i$$ अचर वास्तविक संख्याएँ हैं। यह एक बहुपद फलन है।

चरण 2: प्रथम सीमा का परिकलन

चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत होता है। इसलिए, सीमा का मान सीधे $$x$$ के स्थान पर $$a_1$$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है।

चरण 3: प्रथम सीमा का मूल्यांकन

जब हम $$x = a_1$$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो पहला गुणनखंड $$(a_1-a_1)$$ शून्य हो जाता है। चूंकि कोई भी संख्या शून्य से गुणा करने पर शून्य हो जाती है, इसलिए पूरी सीमा शून्य हो जाती है।

चरण 4: द्वितीय सीमा का परिकलन

अब हमें किसी $$a \ne a_1, a_2, \dots, a_n$$ के लिए $$\lim_{x \to a} f(x)$$ का परिकलन करना है। चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह $$x=a$$ पर भी सतत होगा।

चरण 5: द्वितीय सीमा का मूल्यांकन

चूंकि f(x) एक सतत फलन है, हम $$x$$ के स्थान पर सीधे $$a$$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। क्योंकि $$a$$ किसी भी $$a_i$$ के बराबर नहीं है, कोई भी गुणनखंड शून्य नहीं होगा।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित फलन (ax²+sin x)(p+qcos x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
• प्रथम सिद्धांत से फलन f(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँ f(x)=sin x + cos x।
• निम्नलिखित फलन (cos x)/(1+sin x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए। (v) 3 cot x+5 cosec x

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