अब हमें किसी a e a_1, a_2, a_n के लिए _{x a} f(x) का परिकलन करना है। चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह x=a पर भी सतत होगा।

अब हमें किसी a e a_1, a_2, a_n के लिए _{x a} f(x) का परिकलन करना है। चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह x=a पर भी सतत होगा।

मान लीजिए $a_1, a_2, \dots, a_n$ अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन $f(x) = (x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_n)$ से परिभाषित है। $\lim_{x \to a_1} f(x)$ क्या है? किसी $a e a_1, a_2, \dots, a_n $के लिए$ \lim_{x \to a} f(x)$ का परिकलन कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: फलन को समझना

हमें एक फलन f(x) दिया गया है जो $n$ गुणनखंडों का गुणनफल है। प्रत्येक गुणनखंड $(x-a_i)$ के रूप में है, जहाँ $a_i$ अचर वास्तविक संख्याएँ हैं। यह एक बहुपद फलन है।

Step 2: प्रथम सीमा का परिकलन

चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत होता है। इसलिए, सीमा का मान सीधे $x$ के स्थान पर $a_1$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है।

Step 3: प्रथम सीमा का मूल्यांकन

जब हम $x = a_1$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो पहला गुणनखंड $(a_1-a_1)$ शून्य हो जाता है। चूंकि कोई भी संख्या शून्य से गुणा करने पर शून्य हो जाती है, इसलिए पूरी सीमा शून्य हो जाती है।

Step 4: द्वितीय सीमा का परिकलन

अब हमें किसी $a e a_1, a_2, \dots, a_n$ के लिए $\lim_{x \to a} f(x)$ का परिकलन करना है। चूंकि f(x) एक बहुपद फलन है, यह $x=a$ पर भी सतत होगा।

Step 5: द्वितीय सीमा का मूल्यांकन

चूंकि f(x) एक सतत फलन है, हम $x$ के स्थान पर सीधे $a$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। क्योंकि $a$ किसी भी $a_i$ के बराबर नहीं है, कोई भी गुणनखंड शून्य नहीं होगा।