प्रथम सिद्धांत से फलन f(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x)=\sin x + \cos x$ ।

चरण 1: प्रथम सिद्धांत का सूत्र लिखें

प्रथम सिद्धांत से अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं। यह सूत्र हमें बताता है कि किसी फलन f(x) का अवकलज f'(x) कैसे ज्ञात किया जाता है।

चरण 2: f(x+h) और f(x) के मान प्रतिस्थापित करें

दिए गए फलन $$f(x) = \sin x + \cos x$$ के लिए, हम f(x+h) और f(x) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 3: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें

अब, हम $$\sin$$ और $$\cos$$ पदों को एक साथ समूहित करते हैं ताकि हम त्रिकोणमितीय योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग कर सकें।

चरण 4: त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करें

हम $$\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ और $$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ सूत्रों का उपयोग करते हैं।

चरण 5: सीमा के गुणों का उपयोग करें

हम $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$ के मानक सीमा परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करते हैं।

चरण 6: सीमा लागू करें

जैसे ही $$h \to 0$$ , $$\frac{h}{2} \to 0$$ भी। इसलिए, $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1$$ और $$\lim_{h \to 0} \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) = \cos x$$ और $$\lim_{h \to 0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) = \sin x$$ ।

चरण 7: सरल करें

पदों को सरल बनाने पर, हमें फलन का अवकलज प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित फलन (ax²+sin x)(p+qcos x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित फलन (cos x)/(1+sin x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
• निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए। (v) 3 cot x+5 cosec x
• मान लीजिए a_1, a_2,, a_n अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x-a_1)(x-a_2) (x-a_n) से परिभाषित है। lim_x → a_1 f(x) क्या है? किसी a a_1, a_2,, a_n के लि

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