निम्नलिखित फलन $(ax^2+\sin x)(p+q\cos x)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: गुणनफल नियम लागू करें

दिए गए फलन $($ $ax^2+\sin x$ )(p+q $\cos x$ ) को अवकलित करने के लिए, हम गुणनफल नियम का उपयोग करेंगे। यहाँ, हम $u = ax^2+\sin x$ $\text{और}$ $v = p+q\cos x$ $ मान सकते हैं।

Step 2: $u$ और $v$ के अवकलज ज्ञात करें

अब हम $u = ax^2+\sin x$ और $v = p+q\cos x$ के अवकलज ज्ञात करेंगे। $ax^2$ का अवकलज $2ax$ है और $\sin x$ का अवकलज $\cos x$ है। इसी प्रकार, $p$ एक स्थिरांक है जिसका अवकलज $0$ है, और $q\cos x$ का अवकलज $-q\sin x$ है।

Step 3: गुणनफल नियम में मान प्रतिस्थापित करें

अब हम $u$ , $v$ , $\frac{du}{dx}$ और $\frac{dv}{dx}$ के मानों को गुणनफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे: $u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ ।

Step 4: व्यंजक को सरल करें

अब हम गुणनफल नियम में प्रतिस्थापित किए गए व्यंजक को सरल करेंगे। हम प्रत्येक पद को गुणा करेंगे और समान पदों को एक साथ समूहित करेंगे।

Step 5: अंतिम सरलीकरण

हम जानते हैं कि $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ । इस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, हम व्यंजक को और सरल कर सकते हैं।