दिए गए अवकल समीकरण cos(dy)/(dx) = a को (dy)/(dx) के लिए हल करने पर, हमें (dy)/(dx) = cos^{-1}(a) प्राप्त होता है। यहाँ, cos^{-1}(a) एक स्थिरांक है क्योंकि a एक वास्तविक संख्या है।

दिए गए अवकल समीकरण cos(dy)/(dx) = a को (dy)/(dx) के लिए हल करने पर, हमें (dy)/(dx) = cos^{-1}(a) प्राप्त होता है। यहाँ, cos^{-1}(a) एक स्थिरांक है क्योंकि a एक वास्तविक संख्या है।

अवकल समीकरण $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a \ (a \in R); y = 1 \text{ यदि } x = 0$ के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए अवकल समीकरण $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ को $\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(a)$ प्राप्त होता है। यहाँ, $\cos^{-1}(a)$ एक स्थिरांक है क्योंकि $a$ एक वास्तविक संख्या है।

Step 2: चरों को पृथक करें

अब, हम चरों को पृथक करते हैं ताकि $dy$ एक तरफ और $dx$ दूसरी तरफ हो। इससे हमें $dy = \cos^{-1}(a) \ dx$ प्राप्त होता है।

Step 3: दोनों पक्षों का समाकलन करें

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं।

Step 4: सामान्य हल ज्ञात करें

समाकलन करने पर, हमें $y = x \cos^{-1}(a) + C$ प्राप्त होता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है। यह अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

Step 5: दिए गए प्रतिबंधों का उपयोग करें

विशिष्ट हल ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए प्रतिबंध $y = 1$ जब $x = 0$ का उपयोग करते हैं। इन मानों को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $1 = 0 \cdot \cos^{-1}(a) + C$ प्राप्त होता है।

Step 6: समाकलन स्थिरांक का मान ज्ञात करें

समीकरण को सरल करने पर, हमें $C = 1$ प्राप्त होता है।

Step 7: विशिष्ट हल लिखें

समाकलन स्थिरांक $C = 1$ के मान को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अवकल समीकरण का विशिष्ट हल $y = x \cos^{-1}(a) + 1$ प्राप्त होता है।