अवकल समीकरण $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a \ (a \in R); y = 1 \text{ यदि } x = 0$ के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

चरण 1: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए अवकल समीकरण $$\cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a$$ को $$\frac{dy}{dx}$$ के लिए हल करने पर, हमें $$\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(a)$$ प्राप्त होता है। यहाँ, $$\cos^{-1}(a)$$ एक स्थिरांक है क्योंकि $$a$$ एक वास्तविक संख्या है।

चरण 2: चरों को पृथक करें

अब, हम चरों को पृथक करते हैं ताकि $$dy$$ एक तरफ और $$dx$$ दूसरी तरफ हो। इससे हमें $$dy = \cos^{-1}(a) \ dx$$ प्राप्त होता है।

चरण 3: दोनों पक्षों का समाकलन करें

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं।

चरण 4: सामान्य हल ज्ञात करें

समाकलन करने पर, हमें $$y = x \cos^{-1}(a) + C$$ प्राप्त होता है, जहाँ $$C$$ समाकलन स्थिरांक है। यह अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

चरण 5: दिए गए प्रतिबंधों का उपयोग करें

विशिष्ट हल ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए प्रतिबंध $$y = 1$$ जब $$x = 0$$ का उपयोग करते हैं। इन मानों को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $$1 = 0 \cdot \cos^{-1}(a) + C$$ प्राप्त होता है।

चरण 6: समाकलन स्थिरांक का मान ज्ञात करें

समीकरण को सरल करने पर, हमें $$C = 1$$ प्राप्त होता है।

चरण 7: विशिष्ट हल लिखें

समाकलन स्थिरांक $$C = 1$$ के मान को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अवकल समीकरण का विशिष्ट हल $$y = x \cos^{-1}(a) + 1$$ प्राप्त होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) y = x sin 3x: (d² y)/(dx²) + 9 y -
• बिंदु (0, (π)/(4)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y d x+cos x sin y d y=0 है।
• दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2 x y) है, x²-y²=c x द्वारा प्रदत्त है।
• सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = √(a² - x²), x (-a, a) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
• y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
• ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

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