सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $y = \sqrt{a^2 - x^2}, x \in (-a, a)$ संगत अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0 (y \neq 0)$ का हल है।

चरण 1: दिए गए फलन को लिखें

हमें यह सत्यापित करना है कि दिया गया फलन $$y = \sqrt{a^2 - x^2}$$ अवकल समीकरण $$x + y \frac{dy}{dx} = 0$$ का हल है। इसके लिए, हमें पहले फलन का $$x$$ के सापेक्ष अवकलन करना होगा।

चरण 2: $$x$$ के सापेक्ष अवकलन करें

अब हम फलन $$y = (a^2 - x^2)^{1/2}$$ का $$x$$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे। इसके लिए हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे।

चरण 3: श्रृंखला नियम लागू करें

श्रृंखला नियम का उपयोग करके, पहले हम $$(a^2 - x^2)^{1/2}$$ का अवकलन करेंगे, जो $$\frac{1}{2}(a^2 - x^2)^{-1/2}$$ देता है। फिर, हम $$(a^2 - x^2)$$ का अवकलन करेंगे, जो $$-2x$$ देता है।

चरण 4: अवकलन को सरल करें

अब हम अवकलन को सरल करेंगे। $$2$$ और $$-2x$$ में से $$2$$ कट जाएगा, जिससे हमें $$-x(a^2 - x^2)^{-1/2}$$ मिलेगा। इसे हम $$\frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$ के रूप में भी लिख सकते हैं।

चरण 5: अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें

अब हम $$y$$ और $$\frac{dy}{dx}$$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण $$x + y \frac{dy}{dx} = 0$$ में प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 6: समीकरण को सरल करें

प्रतिस्थापन के बाद, $$\sqrt{a^2 - x^2}$$ पद कट जाएगा, जिससे हमें x + (-x) मिलेगा। इसे सरल करने पर $$0$$ प्राप्त होता है।

चरण 7: निष्कर्ष

चूंकि हमने अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करके $$0$$ प्राप्त किया, जो दाहिने पक्ष के बराबर है, इसलिए यह सत्यापित होता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) y = x sin 3x: (d² y)/(dx²) + 9 y -
• बिंदु (0, (π)/(4)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y d x+cos x sin y d y=0 है।
• दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2 x y) है, x²-y²=c x द्वारा प्रदत्त है।
• अवकल समीकरण cos((dy)/(dx)) = a (a R); y = 1 यदि x = 0 के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
• y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
• ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

पूरा अध्याय देखें →