बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0$ है।

चरण 1: अवकल समीकरण को अलग करना

दिए गए अवकल समीकरण $$\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0$$ को हल करने के लिए, हम चरों को अलग करते हैं। इसके लिए, हम पूरे समीकरण को $$\cos x \cos y$$ से विभाजित करते हैं।

चरण 2: समाकलन करना

चरों को अलग करने के बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं।

चरण 3: समाकलन का मूल्यांकन

हम जानते हैं कि $$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \tan x dx = -\log |\cos x|$$ . इसी प्रकार, $$\int \frac{\sin y}{\cos y} dy = -\log |\cos y|$$ . समाकलन स्थिरांक को $$C$$ से निरूपित किया गया है।

चरण 4: समीकरण को सरल बनाना

हम समीकरण को सरल बनाने के लिए $$\log$$ के गुणों का उपयोग करते हैं। $$\log a + \log b = \log (ab)$$ । हम $$-C$$ को एक नए स्थिरांक $$C_1$$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 5: स्थिरांक $$C_1$$ का मान ज्ञात करना

दिए गए बिंदु $$\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$$ का उपयोग करके, हम $$x=0$$ और $$y=\frac{\pi}{4}$$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि स्थिरांक $$C_1$$ का मान ज्ञात किया जा सके। हम जानते हैं कि $$\cos(0) = 1$$ और $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ ।

चरण 6: वक्र का समीकरण ज्ञात करना

अब हम $$C_1$$ का मान वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। $$\log a = \log b \implies a = b$$ का उपयोग करके, हम वक्र का समीकरण प्राप्त करते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) y = x sin 3x: (d² y)/(dx²) + 9 y -
• दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2 x y) है, x²-y²=c x द्वारा प्रदत्त है।
• अवकल समीकरण cos((dy)/(dx)) = a (a R); y = 1 यदि x = 0 के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
• सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = √(a² - x²), x (-a, a) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
• y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
• ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

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