हम जानते हैं कि ∫ (sin x)/(cos x) dx = ∫ tan x dx = -log |cos x| . इसी प्रकार, ∫ (sin y)/(cos y) dy = -log |cos y| . समाकलन स्थिरांक को C से निरूपित किया गया है।

हम जानते हैं कि ∫ (sin x)/(cos x) dx = ∫ tan x dx = -log |cos x| . इसी प्रकार, ∫ (sin y)/(cos y) dy = -log |cos y| . समाकलन स्थिरांक को C से निरूपित किया गया है।

अब हम C_1 का मान वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। log a = log b ⇒ a = b का उपयोग करके, हम वक्र का समीकरण प्राप्त करते हैं।

अब हम C_1 का मान वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। log a = log b ⇒ a = b का उपयोग करके, हम वक्र का समीकरण प्राप्त करते हैं।

बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0$ है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवकल समीकरण को अलग करना

दिए गए अवकल समीकरण $\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0$ को हल करने के लिए, हम चरों को अलग करते हैं। इसके लिए, हम पूरे समीकरण को $\cos x \cos y$ से विभाजित करते हैं।

Step 2: समाकलन करना

चरों को अलग करने के बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं।

Step 3: समाकलन का मूल्यांकन

हम जानते हैं कि $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \tan x dx = -\log |\cos x|$ . इसी प्रकार, $\int \frac{\sin y}{\cos y} dy = -\log |\cos y|$ . समाकलन स्थिरांक को $C$ से निरूपित किया गया है।

Step 4: समीकरण को सरल बनाना

हम समीकरण को सरल बनाने के लिए $\log$ के गुणों का उपयोग करते हैं। $\log a + \log b = \log (ab)$ । हम $-C$ को एक नए स्थिरांक $C_1$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: स्थिरांक $C_1$ का मान ज्ञात करना

दिए गए बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ का उपयोग करके, हम $x=0$ और $y=\frac{\pi}{4}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि स्थिरांक $C_1$ का मान ज्ञात किया जा सके। हम जानते हैं कि $\cos(0) = 1$ और $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ।

Step 6: वक्र का समीकरण ज्ञात करना

अब हम $C_1$ का मान वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। $\log a = \log b \implies a = b$ का उपयोग करके, हम वक्र का समीकरण प्राप्त करते हैं।