निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) $y = x \sin 3x$ : $\frac{d^2 y}{dx^2} + 9 y - 6 \cos 3x = 0$

चरण 1: प्रथम अवकलज ज्ञात करें

दिए गए फलन $$y = x \sin 3x$$ का $$x$$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल नियम (product rule) का उपयोग करेंगे। गुणनफल नियम $$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$$ है, जहाँ $$u = x$$ और $$v = \sin 3x$$ ।

चरण 2: प्रथम अवकलज की गणना

गुणनफल नियम लागू करने पर, हमें $$x$$ का अवकलज $$1$$ और $$\sin 3x$$ का अवकलज $$3 \cos 3x$$ मिलता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्रथम अवकलज प्राप्त होता है।

चरण 3: द्वितीय अवकलज ज्ञात करें

अब हम प्रथम अवकलज $$\frac{dy}{dx} = \sin 3x + 3x \cos 3x$$ का $$x$$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करेंगे। इसके लिए हम योग नियम और गुणनफल नियम का पुनः उपयोग करेंगे।

चरण 4: द्वितीय अवकलज की गणना

$$\sin 3x$$ का अवकलज $$3 \cos 3x$$ है। $$3x \cos 3x$$ के लिए गुणनफल नियम का उपयोग करने पर, हमें $$3 \cos 3x + 3x(-3 \sin 3x)$$ मिलता है।

चरण 5: द्वितीय अवकलज को सरल करें

पिछले चरण के पदों को संयोजित करके, हम द्वितीय अवकलज को सरल करते हैं।

चरण 6: अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें

अब हम द्वितीय अवकलज $$\frac{d^2 y}{dx^2}$$ और मूल फलन $$y$$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण $$\frac{d^2 y}{dx^2} + 9 y - 6 \cos 3x = 0$$ में प्रतिस्थापित करेंगे।

चरण 7: समीकरण को सत्यापित करें

समीकरण में पदों को सरल करने पर, हम देखते हैं कि $$6 \cos 3x$$ और $$-6 \cos 3x$$ रद्द हो जाते हैं, और $$-9x \sin 3x$$ और $$9x \sin 3x$$ भी रद्द हो जाते हैं, जिससे $$0 = 0$$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• बिंदु (0, (π)/(4)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y d x+cos x sin y d y=0 है।
• दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2 x y) है, x²-y²=c x द्वारा प्रदत्त है।
• अवकल समीकरण cos((dy)/(dx)) = a (a R); y = 1 यदि x = 0 के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
• सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = √(a² - x²), x (-a, a) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
• y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
• ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

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