दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^2+y^2}{2 x y}$ है, $x^2-y^2=c x$ द्वारा प्रदत्त है।

चरण 1: अवकल समीकरण स्थापित करें

हमें दिया गया है कि किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $$\frac{x^2+y^2}{2xy}$$ है। हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की प्रवणता $$\frac{dy}{dx}$$ के बराबर होती है। इसलिए, हम दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।

चरण 2: समीकरण को समघातीय रूप में बदलें

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात समान है। इसे हल करने के लिए, हम अंश और हर को $$x^2$$ से विभाजित करते हैं ताकि इसे y/x के पदों में व्यक्त किया जा सके।

चरण 3: प्रतिस्थापन करें

हम $$y = vx$$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जहाँ $$v$$ एक फलन है $$x$$ का। इसका अवकलज $$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$$ होता है। इस प्रतिस्थापन को समीकरण में रखने पर हमें यह प्राप्त होता है।

चरण 4: चरों को पृथक करें

अब हम समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करते हैं कि $$v$$ के पद एक तरफ और $$x$$ के पद दूसरी तरफ हों। यह हमें चरों को पृथक करने की अनुमति देता है ताकि हम दोनों पक्षों को समाकलित कर सकें।

चरण 5: दोनों पक्षों का समाकलन करें

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, बायाँ पक्ष $$\ln|1-v^2|$$ देता है (क्योंकि $$\frac{d}{dv}(1-v^2) = -2v$$ ) और दायाँ पक्ष $$\ln|x|$$ देता है। हम समाकलन स्थिरांक $$\ln|c|$$ जोड़ते हैं।

चरण 6: समाकलन करें और $$v$$ को y/x से प्रतिस्थापित करें

समाकलन करने के बाद, हमें $$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$$ प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम इसे $$\ln\left|\frac{1}{1-v^2}\right| = \ln|cx|$$ के रूप में लिख सकते हैं। दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर $$\frac{1}{1-v^2} = cx$$ प्राप्त होता है। अब, $$v = y/x$$ को वापस प्रतिस्थापित करें।

चरण 7: अंतिम समीकरण प्राप्त करें

प्रतिस्थापन के बाद, हमें $$\frac{1}{1-(y/x)^2} = cx$$ मिलता है। इसे सरल करने पर $$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$$ प्राप्त होता है। आगे सरल करने पर $$x^2 = cx(x^2-y^2)$$ मिलता है। $$x$$ से विभाजित करने पर $$x = c(x^2-y^2)$$ प्राप्त होता है। अंत में, $$x^2-y^2 = \frac{x}{c}$$ प्राप्त होता है। चूंकि $$c$$ एक मनमाना स्थिरांक है, $$\frac{1}{c}$$ भी एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे हम फिर से $$c$$ लिख सकते हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) y = x sin 3x: (d² y)/(dx²) + 9 y -
• बिंदु (0, (π)/(4)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y d x+cos x sin y d y=0 है।
• अवकल समीकरण cos((dy)/(dx)) = a (a R); y = 1 यदि x = 0 के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
• सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = √(a² - x²), x (-a, a) संगत अवकल समीकरण x + y (dy)/(dx) = 0 (y ≠ 0) का हल है।
• y^()+2 y^()+sin y=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
• ((d s)/(d t))^(4)+3 s (d² s)/(d t²)=0 की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

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