समकोण त्रिभुज के शीर्षों को दर्शाने के लिए, हमें पहले दिए गए बिंदुओं A , B , और C के बीच के सदिशों {AB} , {BC} और {CA} को ज्ञात करना होगा। एक सदिश को दूसरे सदिश से घटाकर इन सदिशों को प्राप्त किया जा सकता है।

समकोण त्रिभुज के शीर्षों को दर्शाने के लिए, हमें पहले दिए गए बिंदुओं A , B , और C के बीच के सदिशों {AB} , {BC} और {CA} को ज्ञात करना होगा। एक सदिश को दूसरे सदिश से घटाकर इन सदिशों को प्राप्त किया जा सकता है।

हम देखते हैं कि | {BC}|² + | {CA}|² = | {AB}|² है। यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि सदिश {BC} और {CA} एक दूसरे के लंबवत हैं, और बिंदु A , B , C एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हम देखते हैं कि | {BC}|² + | {CA}|² = | {AB}|² है। यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि सदिश {BC} और {CA} एक दूसरे के लंबवत हैं, और बिंदु A , B , C एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

दर्शाइए कि बिंदु $A(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ , $B(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k})$ , $C(3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k})$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: सदिश $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ और $\vec{CA}$ ज्ञात कीजिए

समकोण त्रिभुज के शीर्षों को दर्शाने के लिए, हमें पहले दिए गए बिंदुओं $A$ , $B$ , और $C$ के बीच के सदिशों $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ और $\vec{CA}$ को ज्ञात करना होगा। एक सदिश को दूसरे सदिश से घटाकर इन सदिशों को प्राप्त किया जा सकता है।

Step 2: सदिशों के मानों की गणना करें

अब हम पिछले चरण में परिभाषित सूत्रों का उपयोग करके प्रत्येक सदिश के घटकों की गणना करते हैं। यह हमें $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ और $\vec{CA}$ के लिए विशिष्ट सदिश मान देता है।

Step 3: सदिशों के परिमाण ज्ञात कीजिए

एक समकोण त्रिभुज की पहचान करने के लिए, हमें प्रत्येक सदिश के परिमाण की आवश्यकता होती है। एक सदिश का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

Step 4: पाइथागोरस प्रमेय लागू करें

समकोण त्रिभुज के लिए, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। हम प्रत्येक सदिश के परिमाण का वर्ग ज्ञात करते हैं।

Step 5: पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करें

हम देखते हैं कि $|\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{AB}|^2$ है। यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि सदिश $\vec{BC}$ और $\vec{CA}$ एक दूसरे के लंबवत हैं, और बिंदु $A$ , $B$ , $C$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।