दर्शाइए कि बिंदु $A(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$, $B(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k})$, $C(3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k})$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

चरण 1: सदिश $$\vec{AB}$$ , $$\vec{BC}$$ और $$\vec{CA}$$ ज्ञात कीजिए

समकोण त्रिभुज के शीर्षों को दर्शाने के लिए, हमें पहले दिए गए बिंदुओं $$A$$ , $$B$$ , और $$C$$ के बीच के सदिशों $$\vec{AB}$$ , $$\vec{BC}$$ और $$\vec{CA}$$ को ज्ञात करना होगा। एक सदिश को दूसरे सदिश से घटाकर इन सदिशों को प्राप्त किया जा सकता है।

चरण 2: सदिशों के मानों की गणना करें

अब हम पिछले चरण में परिभाषित सूत्रों का उपयोग करके प्रत्येक सदिश के घटकों की गणना करते हैं। यह हमें $$\vec{AB}$$ , $$\vec{BC}$$ और $$\vec{CA}$$ के लिए विशिष्ट सदिश मान देता है।

चरण 3: सदिशों के परिमाण ज्ञात कीजिए

एक समकोण त्रिभुज की पहचान करने के लिए, हमें प्रत्येक सदिश के परिमाण की आवश्यकता होती है। एक सदिश का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

चरण 4: पाइथागोरस प्रमेय लागू करें

समकोण त्रिभुज के लिए, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। हम प्रत्येक सदिश के परिमाण का वर्ग ज्ञात करते हैं।

चरण 5: पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करें

हम देखते हैं कि $$|\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{AB}|^2$$ है। यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि सदिश $$\vec{BC}$$ और $$\vec{CA}$$ एक दूसरे के लंबवत हैं, और बिंदु $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• यदि दो सदिशों a और b के बीच का कोण θ है तो | a· b|=| a× b| जब θ बराबर है: (A) 0 (B) (π)/(4) (C) (π)/(2) (D) π
• यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः i + j + k, 2 i + 5 j, 3 i + 2 j - 3 k और i - 6 j - k है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगम
• दिया हुआ है कि a· b=0 और a× b= 0। सदिश a और b के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
• यदि a = b + c, तब क्या यह सत्य है कि | a|=| b|+| c|? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
• दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों a और b के लिए | a| b+| b| a, | a| b-| b| a पर लंब है।
• सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
• यदि दो सदिश a और b इस प्रकार हैं कि | a|=2, | b|=3 और a · b = 4 तो | a - b| ज्ञात कीजिए।
• यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और एक शून्येतर अदिश है तो a एक मात्रक सदिश है यदि (A) = 1 (B) = -1 (C) a = | | (D) a = 1/| |

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