दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a}$, $|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a}$ पर लंब है।

चरण 1: लंबवत सदिशों की शर्त

दो सदिश $$\vec{x}$$ और $$\vec{y}$$ एक दूसरे के लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट उत्पाद) शून्य के बराबर हो। हमें यह दिखाना है कि दिए गए दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है।

चरण 2: दिए गए सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करना

हमें यह सिद्ध करना है कि सदिश $$(|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a})$$ और $$(|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a})$$ एक दूसरे पर लंब हैं। इसके लिए, हम इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करेंगे।

चरण 3: वितरण नियम का उपयोग करना

हम अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए दिए गए व्यंजक का विस्तार करेंगे। यह बीजगणित में (x+y)(x-y) के विस्तार के समान है।

चरण 4: सरलीकरण

अब हम अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं। हम जानते हैं कि $$\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$$ और $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$ ।

चरण 5: आगे सरलीकरण

हम जानते हैं कि $$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$$ और $$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$ । साथ ही, $$\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, मध्य पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

चरण 6: अंतिम परिणाम

सरलीकरण के बाद, हमें $$0$$ प्राप्त होता है। चूंकि दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है, इसलिए वे एक दूसरे पर लंबवत हैं।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• यदि दो सदिशों a और b के बीच का कोण θ है तो | a· b|=| a× b| जब θ बराबर है: (A) 0 (B) (π)/(4) (C) (π)/(2) (D) π
• यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः i + j + k, 2 i + 5 j, 3 i + 2 j - 3 k और i - 6 j - k है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगम
• दिया हुआ है कि a· b=0 और a× b= 0। सदिश a और b के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
• यदि a = b + c, तब क्या यह सत्य है कि | a|=| b|+| c|? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
• सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
• यदि दो सदिश a और b इस प्रकार हैं कि | a|=2, | b|=3 और a · b = 4 तो | a - b| ज्ञात कीजिए।
• यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और एक शून्येतर अदिश है तो a एक मात्रक सदिश है यदि (A) = 1 (B) = -1 (C) a = | | (D) a = 1/| |
• दर्शाइए कि बिंदु A(2 i- j+ k), B( i-3 j-5 k), C(3 i-4 j-4 k) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

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