हमें यह सिद्ध करना है कि सदिश (| {a}| {b}+| {b}| {a}) और (| {a}| {b}-| {b}| {a}) एक दूसरे पर लंब हैं। इसके लिए, हम इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करेंगे।

हमें यह सिद्ध करना है कि सदिश (| {a}| {b}+| {b}| {a}) और (| {a}| {b}-| {b}| {a}) एक दूसरे पर लंब हैं। इसके लिए, हम इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करेंगे।

हम जानते हैं कि {b} · {b} = | {b}|² और {a} · {a} = | {a}|² । साथ ही, {b} · {a} = {a} · {b} । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, मध्य पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

हम जानते हैं कि {b} · {b} = | {b}|² और {a} · {a} = | {a}|² । साथ ही, {b} · {a} = {a} · {b} । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, मध्य पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a}$ , $|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a}$ पर लंब है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: लंबवत सदिशों की शर्त

दो सदिश $\vec{x}$ और $\vec{y}$ एक दूसरे के लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट उत्पाद) शून्य के बराबर हो। हमें यह दिखाना है कि दिए गए दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है।

Step 2: दिए गए सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करना

हमें यह सिद्ध करना है कि सदिश $(|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a})$ और $(|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a})$ एक दूसरे पर लंब हैं। इसके लिए, हम इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करेंगे।

Step 3: वितरण नियम का उपयोग करना

हम अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए दिए गए व्यंजक का विस्तार करेंगे। यह बीजगणित में (x+y)(x-y) के विस्तार के समान है।

Step 4: सरलीकरण

अब हम अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं। हम जानते हैं कि $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ।

Step 5: आगे सरलीकरण

हम जानते हैं कि $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ और $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ । साथ ही, $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, मध्य पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

Step 6: अंतिम परिणाम

सरलीकरण के बाद, हमें $0$ प्राप्त होता है। चूंकि दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है, इसलिए वे एक दूसरे पर लंबवत हैं।