यदि $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$, तब क्या यह सत्य है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|$? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

चरण 1: सदिश योग का त्रिभुज नियम

हमें दिया गया है कि सदिश $$\vec{a}$$ सदिश $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ के योग के बराबर है। यह सदिश योग के त्रिभुज नियम को दर्शाता है, जहाँ $$\vec{a}$$ त्रिभुज की तीसरी भुजा है और $$\vec{b}$$ तथा $$\vec{c}$$ अन्य दो भुजाएँ हैं।

चरण 2: त्रिभुज असमिका

त्रिभुज असमिका के अनुसार, दो सदिशों के योग का परिमाण उनके अलग-अलग परिमाणों के योग से कम या उसके बराबर होता है। यह एक त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं की लंबाई के योग के तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या उसके बराबर होने के ज्यामितीय सिद्धांत पर आधारित है।

चरण 3: परिणामी संबंध

चूंकि $$\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$$ , हम त्रिभुज असमिका में $$\vec{b} + \vec{c}$$ को $$\vec{a}$$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें $$|\vec{a}| \le |\vec{b}| + |\vec{c}|$$ प्राप्त होता है।

चरण 4: समानता की स्थिति

समानता $$|\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}|$$ तभी सत्य होती है जब सदिश $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ एक ही दिशा में हों (यानी, वे संरेख हों और एक ही दिशा में इंगित करें)। इस स्थिति में, वे एक सीधी रेखा बनाते हैं, और $$\vec{a}$$ का परिमाण $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ के परिमाणों के योग के बराबर होता है।

इसी अध्याय से और प्रश्न

• यदि दो सदिशों a और b के बीच का कोण θ है तो | a· b|=| a× b| जब θ बराबर है: (A) 0 (B) (π)/(4) (C) (π)/(2) (D) π
• यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः i + j + k, 2 i + 5 j, 3 i + 2 j - 3 k और i - 6 j - k है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगम
• दिया हुआ है कि a· b=0 और a× b= 0। सदिश a और b के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
• दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों a और b के लिए | a| b+| b| a, | a| b-| b| a पर लंब है।
• सदिश i + j पर सदिश i - j का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
• यदि दो सदिश a और b इस प्रकार हैं कि | a|=2, | b|=3 और a · b = 4 तो | a - b| ज्ञात कीजिए।
• यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और एक शून्येतर अदिश है तो a एक मात्रक सदिश है यदि (A) = 1 (B) = -1 (C) a = | | (D) a = 1/| |
• दर्शाइए कि बिंदु A(2 i- j+ k), B( i-3 j-5 k), C(3 i-4 j-4 k) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

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